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de la fonction ;> représentation qu'on peut obtenir très facilement, 



soit par la méthode de M. Mittag-Leffler lui-même, laquelle se simplifie 

 singulièrement dans ce cas particulier, soit par d'autres méthodes. J'avais 

 communiqué une telle démonstration à M. Mittag-Leffler, il y a quelque 

 temps. Elle se trouve être identique à la méthode de M. Borel qui vient 

 d'être publiée dans l'addition à son Mémoire sur les séries divergentes. 



» En se servant du même principe de démonstration, qui ne paraît 

 pas avoir, contrairement à ce qu'en dit M. Borel,.de lien essentiel avec son 

 principe de sommabilité, on démontre immédiatement l'extension suivante 

 du théorème de M. Mittag-Leffler, laquelle mérite d'être remarquée, bien 

 qu'elle soit tout aussi facile à trouver qu'à démontrer : 



)) Soit C une courbe donnée, régulière ou formée de portions de courbes 

 régulières, ne passant ni à l'origine, ni à l'infini, enfin telle qu'elle soit coupée 

 par un rayon issu de l'origine tout au plus en un seul point. Cette courbe peut 

 d'ailleurs être fermée ou non fermée. 



» Soit f(x) une fonction analytique régulière en tous les points de la 

 courbe C, sauf les extrémités, s' il y en a. 



» Définissons un domaine B, analogue à l'étoile de M. Mittag-Leffler, de 

 la manière suivante : Sur chaque rayon issu de l'origine et coupant la 

 courbe C, il y aura, s' étendant des deux côtés du point d'intersection, une por- 

 tion continue où la fonction f(^x^ reste régulière. Nous choisissons cette portion 

 aussi grande qu'il est possible, et nous ne retenons que cette portion, en excluant 

 tout le reste du rayon. 



» Supposons encore que la fonction f{x) reste intégrable sur tous les che- 

 mins qui, situés d'ailleurs à l'intérieur du domaine B, aboutissent aux extré- 

 mités de la courbe C. 



» Cela posé, considérons les constantes cx(X^o, ±i, ±2, ...) définies 

 par les égalités 



» Soient enfin 



Gv(^) (v = 0, I, 2, ...) 

 une suite de polynômes tels que 



lim G^(x) 



converge uniformément vers _ dans tout domaine qui n'a pas de point, ni 



même de point limite, situé sur l'axe réel entre i et 00, inclusivement les points 

 extrêmes. 



c. R., 1899, I" Semestre. (T. CXXVIII, N' 24 ) 186 



