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y, t', i/ étant des fonctions déterminées et >^,, ja,, t, des constantes qui 

 varieront seules lorsqu'on passera de l'une des surfaces (S'^) aux deux 

 autres. 



» Par exemple l,, j7.,, a, seront nulles pour (i^) el prendront des valeurs 

 que nous devons supposer quelconques pour (S',), (X,). 



» D'après cela, écrivons que l'équation (i'^) de ma dernière Commu- 



nication et celles des équations (i i) qui déterminent -^, ^ ne cessent pas 



de subsister lorsqu'on y remplace ni, 1, -7, a par m -+- m,, X -h a,, t + t,. 

 iJL -f a,. Nous obtiendrons les relations 



,-f-'7A, + \,';,;). 



r, + WiT, ) =r G, 



?, + w,^,") = o. 



d'où l'on déduit facilement que les valeurs de \, [j., n seront nécessairement 

 de la forme suivante 



(2) > = m' -H X„, r; = « -)- ,7,,, jj. r= — 11^ _f- ;x„ , 



^0' "^0» î-'-o étant trois constantes et «, u' désignant, pour abréger, les quan- 

 tités suivantes : 



(3) " = ^ + î(;' "' = "'(r-ïï:)' 



» En portant les valeurs de 1, [i., n dans l'équation (i3) de ma précé- 

 dente Communication 



(4) [>■' + ^- + i"; = 2mir>, 



on sera conduit à une relation de la forme suivante : 



^(5) 11^ (^^-^yV H= (ë)'+ "t~ '^ •■'^""'+ 2Bm + 2C«' + I) = o, 



oii A, B, C, D désignent des constantes quelconques. Cette relation, qui 

 contient, en même temps que les rayons de courbure principaux, leurs 

 dérivées lorsqu'on se déplace suivant les lignes de courbure, devra être 

 vérifiée en chaque point de la surface (-,). Elle est, comme on voit, de 

 forme assez compliquée. Mais, en même temps qu'elle est nécessaire, elle 



