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 est suffisante, et nous allons voir qu'en la supposant vérifiée, on pourra 

 faire dériver de (2,) les trois surfaces (!'.,), (l'.^), (^\). 



» Si l'on porte en effet les trois valeurs (2) de)., c, [a dans l'équation (4) 

 et que l'on identifie la relation ainsi obtenue avec l'équation (5), on aura 



(6) [y.„ = — A- 2/?«, 



m' '" ni 



m devant vérifier l'équation du troisième degré 



(y) (A + 2m)-7?2 — D/n - 2BC = o. 



» Aux trois racines de cette équation correspondront trois systèmes de 

 valeurs pour [x„, \^ i„ et, par suite, trois surfaces (X). (-3), (^1) dont les 

 normales se couperont mutuellement et couperont aussi la normale à (i,). 



» Il reste à montrer que les quatre surfaces isothermiques ainsi obtenues 

 sont bien celles qui correspondent à la déformation d'une certaine qua- 

 drique. Il faut, pour cela, prendre une des deux tangentes isotropes à (2,) 

 puis les trois tangentes isotropes aux surfaces (il), (-'3), (-i) qui ren- 

 contrent la première et montrer d'abord que la quadrique (Q) dont ces 

 quatre droites sont des génératrices rectilignes est invariable de forme. 



» Choisissons comme axe des X, des Y, des Z, les deux tangentes prin- 

 cipales et la normale à la surface (2, ). Il n'y a aucune difficulté à former 

 l'équation de la quadrique (Q). En posant, pour abréger, 



/ X-t- i\ „ "(/' X + iY 



( 7 = - (X - jY) (E + j^O -f- -^ TT7I7 ~ "" -^ ~ -" ' 



on trouvera que les tangentes isotropes aux surfaces (2) ) ont pour équa- 

 tions 



( :; + (A -+- ■i.m)x — o, 



de sorte qu'en éliminant m on voit qu'elles sont toutes les trois sur la qua- 

 drique définie par l'équation 



(10) (=H-Aa-)(j-t-Da;)-4Ba'(i +Cx)--=o. 



Les variables x, y, z peuvent être regardées comme des coordounées rec- 



