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 el soit la fonction f{si\y) continue dans l'aire limitée par C, ainsi qne ses 

 dérivôes partielles -^- et -y,- On suppose que l'on ait 



l/(^-..v)|<F, 



'IL 



et |i^l<F.. 



\dr 



» Si l'on désigne par u la solution conlinue de l'équation (2) s'anniilaiit 

 sor C, la fonction a sera à l'intérieur du contour moindre en valeur 

 absolue que 7.F, ses dérivées du premier ordre seront moindres que [aF, et 

 ses dérivées secondes moindres que 'X, F + jv-, F, . Les \ et [a sont des con- 

 stantes ne dépendant que du contour; \, ij. et a, sont très petits si le 

 contour limite une aire très petite. 



» Ce point établi, on peut, en supposant que les coefficients d, f, /soient 

 continus ainsi que leurs dérivées premières, obtenir, par une série d'ap- 

 proximations successives, l'intégrale prenant des valeurs données sur C, 

 pourvu que cette succession de valeurs soit continue el admette des dérivées des 

 trois premiers ordres. 



» Il est possible de traiter la question dans des cas pins étendus si les 

 coefficients d, e, f sont analytiques. Supposant, comme il est permis si le 

 contour est simple, que celui-ci soit un cercle, je reviens alors aux déve- 

 loppements en séries qui m'ont permis de démontrer que toutes les inté- 

 grales de (i) sont analytiques (^Journal de l'Ecole Polytechnique ; 1890). 



» La solution du problème peut être obtenue par cette voie, si la succes- 

 sion des valeurs /(^), en désignant par l'argument sur la circonférence, 

 est une fonction continue de ne présentant pas un nombre infini de 

 niaxima et de minima. On démontre de plus, et c'est là un point important 

 pour la suite, que les valeurs absolues de l'intégrale prenant les valeurs 

 /"(ô) sur C et de ses dérivées premières et secondes sont limitées, dans une 

 aire intérieure à C, eu fonction de la valeur absolue maxima de /(O). Le 

 cas d'un contour limité par deux courbes se traite aussi par une voie ana- 

 logue. 



» Si maintenant nous considérons une région quelconque du plan où / 

 est négatif, et où par suite il ne peut exister plus d'une intégrale prenant 

 des valeurs données sur un contour, il ne subsiste plus aucune difficulté 

 dans l'application de la méthode de prolongement que j'ai indiquée autre- 

 fois; on suppose toujours que les valeurs données sur le contour forment 

 une fonction continue n'ayant pas un nombre infini de maxima et de 

 minima. Grâce à la remarque faite plus haut, sur la limitation des dérivées, 



