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obtenus ne sont donc démontrés que pour certaines classes de surfaces 

 dont la généralité varie d'une question à l'autre. Par suite il y a lieu de se 

 demander s'il n'est pas nécessaire, pour arriver à des énoncés littéralement 

 exacts, de renoncer à la généralité qu'on leur donne ordinairement et d'y 

 introduire des restrictions relatives à l'existence de certaines dérivées. 



» Partant de cette idée, je me suis proposé de rechercher s'il n'existe 

 pas des surfaces applicables sur le plan autres que les surfaces développables . 

 Cette question est légitime, car, pour démontrer que les surfaces dévelop- 

 pables sont les seules applicables sur le plan, Ossian Bonnet suppose que 

 les coordonnées des points de la surface qu'il étudie sont des fonctions 

 ayant des dérivées partielles des coordonnées des points correspondants 

 du plan ; dans d'autres démonstrations, on suppose l'existence de rayons 

 de courbure principaux en chaque point de la surface. 



> Avant d'aborder la question, il faut remarquer qu'étant donnée une 

 surface, c'est-à-dire l'ensemble des points 



X = f(u, v), j=(p(w, (;), z='h(u,v), 



où/, ç, '\i sont des fonctions finies, bien définies et continues par rapport à 

 l'ensemble (;/, ç) quand le point n, v se déplace dans une certaine aire, 

 les quantités E, F, G, qui jouent un rôle fondamental dans la théorie des 

 surfaces applicables, n'ont en général aucun sens. De sorte que le problème 

 de la recherche des surfaces applicables sur le plan n'est pas équivalent 

 au problème de l'intégration des équations 



(i) E = 1, F = o, G = I, 



du moins si l'on adopte la définition suivante : 



)) Une surface est applicable sur le plan s'il est possible d'établir entre les 

 points de cette surface et les points d'une aire plane une correspondance uni- 

 voque et continue telle qu'à toute courbe rectifiable de la surface corresponde 

 dans l'aire plane une courbe rectifiable ayant même longueur, et inversement. 



» Les mots courbes rectifîables ont un sens très précis, conmie il résulte 

 des travaux de Ludwig Scheeffer. 



M Toute surface pour laquelle les quantités E, F, G existent et satisfont 

 aux équations (i) répond à la question; car il existe entre ces surfaces et 

 le plan une correspondance ponctuelle conservant les longueurs, non 

 seulement pour les courbes ayant des tangentes variant d'une façon con- 

 tinue, mais encore pour toutes les courbes reclifiables. 



