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» Je prends maintenant deux morceaux de surfaces développables, 

 limités chacun par une génératrice, et je suppose que ces génératrices 

 frontières sont confondues en A. Dans la surface formée par ces deux 

 morceaux je peux trouver une portion limitée de surface qui soit appli- 

 cable, sans déchirures ni duplicatures, sur une aire plane et qui comprenne 

 un segment de la génératrice A. 



» Pour arriver à des surfaces plus compliquées, je suppose que les deux 

 morceaux dont il s'agit sont deux morceaux dont l'ensemble formait une 

 développable analytique, mais que l'on a fait glisser l'un deux par rapport 

 à l'autre le long de A et qu'on l'a fait tourner autour de cette génératrice. 

 Répétée pour une infinité de génératrices, cette opération conduit, dans 

 certains cas, à une surface réglée applicable sur le plan; aucun morceau des 

 surfaces ainsi obtenues n'est, en général, ni formé des tangentes à une courbe 

 gauche, ni enveloppe d'un plan dépendant d' un paramétre . Inversement, les 

 tangentes d'une courbe gauche peuvent engendrer une surface non appli- 

 cable sur le plan. 



» I^es surfaces précédentes sont réglées; pour arriver à des surfaces 

 non réglées je prends une développable analytique et sur elle une courbe 

 analytique C non géodésique. On sait qu'il existe une autre développable 

 passant par C, telle que l'on puisse elFectuer l'application sur le plan de 

 ces deux développables de façon qu'à tout point de C, considéré comme 

 appartenant à l'une ou à l'autre de ces deux surfaces, corresponde le même 

 point du plan. La courbe C divise la première développable en deux mor- 

 ceaux A, B; la seconde en deux morceaux A', B'. 



» Deux des quatre surfaces (A, A'), (A, B'), (B, A'), (B, B') sont appli- 

 cables sur le plan sans déchirures, ni duplicatures, ou plutôt sont telles 

 que l'on peut en détacher un morceau fini jouissant de cette propriété et 

 comprenant un arc de C. C est alors une ligne singulière; comme précé- 

 demment on peut passer de cette singularité unique à des singularités en 

 nombre infini et l'on arrive ainsi à des surfaces applicables sur le plan et ne 

 contenant aucun segment de droite. 



)) Si, en particulier, la surface (A, B) est un cône de révolution et les 

 courbes C successives des parallèles, on pourra obtenir des surfaces de 

 révolution dont la méridienne ne contient aucun segment de droite. En 

 général, si y —f{x) est une courbe à variation limitée dont la variation 

 totale de x^à x^ est¥,.\xa — x,\,K étant une constante, la surface engendrée 

 par cette courbe en tournant autour de Oy est applicable sur le plan. 



