( i5o5 ) 



» Ces exemples prouvent que le théorème d'Ossian Bonnet ne résout 

 pas complètement la question suivante : Trouver toutes les surfaces appli- 

 cables sur le plan. 



» Pour prévoir ce résultat, il suffisait d'ailleurs de remarquer combien 

 la forme des surfaces physiquement applicables sur le plan, comme celles 

 que l'on obtient en froissant une feuille de papier, diffère de la forme des 

 surfaces développables. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le calcul des intégrales des équations dif- 

 férentielles par la méthode de Cauchy-Lipchitz. Note de M. Paul Painlevé, 

 présentée par M. Picard. 



« Dans une Note des Comptes rendus (5 juin 1899), M. Picard s'est 

 appuyé sur cette remarquable propriété que possède la méthode de Cauchy- 

 Lipchitz, de définir la solution d'un système différentiel (correspondant à 

 des conditions initiales données) dans tout l'intervalle {réel) où la solution 

 est continue et déterminée d'une façon unique par les conditions initiales. 



» Dans le cours que j'ai professé au Collège de France (1896-1897), 

 cours qui n'a jamais été pubUé, j'ai établi cette même propriété, et je m'en 

 suis servi pour étudier le mouvement d'un système matériel dans l'inter- 

 valle de temps le plus grand possible, avec le minimum de restrictions 

 relatives à la continuité. Je voudrais résumer, dans cette Note, les propo- 

 sitions générales très simples et les principales applications que j'ai déve- 

 loppées à cette époque. 



» Soient t la variable indépendante, x, y, .... « les (« — i) fonctions 

 réelles de t qui vérifient le système 



(S) '^=f,{t,x,y,...,u,i>) -^=/„_,(^a;,J, ...,«,('), 



où V désigne une (« + 1)'^"»= variable liée k t, x, y, .. ., u par la relation 

 donnée 



(1) F(/,a7,j, .... H, (■) = o. 



Il nous est loisible de compléter (S) par une n""^" équation [comjjatible 

 avec (i)], 



{s) -£^f„(l,x,y,...,u,i'). 



