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» Regardons t, x, y, .... c comme les coordonnées d'un point P de l'es- 

 pace E„_^, à (« + i) dimensions; la relation (i) définit alors une surface 

 [à(n-i-i) dimensions] de E,,^.,, et toute solution x(^l), ..., r(f) de (S) 

 définit une courbe r (à une dimension) de E,,^,. J'admets qu'en tout 

 point P de la surface (i) {sauf en des points exceptionnels), les dérivées 



-j-j • ■ •' -y7 sont continues et ne sont pas toutes nulles. Soit, par exemple, 



d¥ 



— ^ o en P„ ; on regarde alors v et les /, comme des fonctions de x, 



j', ...,«; si ces fonctions /,(^, a?, y, .... u, (')^<p,(/,a;, y, ...,«) sont bien 

 définies et continues pour t ^ tg, x = x„, . . ., u = «„, (i> = v^), et dans le 

 voisinage, ainsi que leurs dérivées premières ('), le point ?„ sera, par défi- 

 nition, un point régulier du système (S). Sinon, P^ sera un point singulier. 



» Nous dirons qu'une solution de (S) est régulière dans l'intervalle t, t., 

 si, dans cet intervalle, les fonctions x(t), .... u{t), (^(/) sont continues 

 et représentent une courber qui ne passe par aucun poinl singulierV de (S). 

 Appelons, dans ce cas, S la distance niinima des points de T et des points 

 singuliers P'. Nous dirons que 8 est l'écart de singularité de la solution 

 considérée dans l'intervalle /, t.,. Enfin, nous dirons qu'on connaît la solu- 

 tion a;(z), ...,//(/), t'(^) avec une approximation t (dans l'intervalle 

 t,t..), si l'on connaît, pour chaque valeur de / (entre t, et /o), une posi- 

 tion approchée du point x(t), .... {>(t), distante de la position vraie de 

 moins de i. 



» Ceci étant, les propositions que j'ai démontrées s'énoncent ainsi : 



» Théorème I. — La méthode de Cauchy-Lipchitz. appliquée au système 

 (S), {s), converge dans tout l'intervalle oiï la solution x{t), . . ., v{t), définie 

 par les conditions initiales t^, x^, . . ., v„, est régulière. 



» Dans un intervalle plus grand, la solution de (S) cesse, en général, 

 d'être continue ou d'être unique. 



» Théorème 11. — La méthode de Cauchy-Lipchitz permet de développer 

 x,y, ..., V en séries de polynômes en t, /,, x„, ..., Vo, convergentes dans tout 

 Vint en aile l,<t^<^t., où la solution x(t), ..., v(l) est régulière. 



» Il suffit, pour obtenir ces développements, de développer les //en 

 série de polynômes réels en /, a:, ..., v, et de remplacer (pour chaque 



(') II, suffit d'admeltre que, dans le voisinage de ?„, on a : 

 les k désignant des constantes numériques. 



