( i5o7 ) 



approximation de Clauchy) les/", par les q premiers termes de ces dévelop- 

 pements (^ tendant vers l'infini). 



» Théorème Tll. — Soient A et i deux quantités positù'es prises à l'avance 



aussi petites que l'on i^eut (A^s), et tf,, x„ c„ des conditions initiales 



données, t, une valeur quelconque de t. Apres un nombre 'SI kJ fini d' opérations 

 (dont il est facile de fixer le maximum à l'avance^ on peut calculer la solution 

 de S entre tg, t, avec l' approximation s, ou bien affirmer que l'écart de singu- 

 larité de la solution (dans l'intervalle l^t,) est moindre que A (' ). 



» Par exemple, pour le problème des n corps, la méthode de Cauchy- 

 Lipchitz permet de calculer, avec l'approximation e, les positions des 

 n corps entre t^, et ^, , ou d'affirmer que dans cet intervalle de temps l'écart 

 minimum de deux astres est moindre que A. 



)) Quand les fonctions fi sont analytiques, des résultats analogues 

 peuvent s'obtenir soit par le prolongement analytique, soit par une mé- 

 thode bien connue de M. Poincaré qui introduit un paramètre auxiliaire, 

 soit enfin par les nouveaux développements si élégants de M. Mittag- 

 Leffler. Mais si l'on veut notamment traiter le problème III, il sera indis- 

 pensable (à moins de découvertes entièrement nouvelles) de calculer 

 approximativement la somme des séries employées non seulement pour 

 l'instant final, mais pour les instants intermédiaires. En sorte qu'au point 

 de vue pratique ces méthodes exigeront, en outre de dérivations succes- 

 sives extrêmement pénibles, des calculs analogues aux calculs de la mé- 

 thode de Cauchy-Lipchitz. 



» De plus, grâce à sa plasticité, la méthode de Cauchy-Lipchitz peut 

 être combinée avec toute autre méthode d'approximations. Par exemple, si 

 l'on veut traiter la question III pour le problème des n corps, on décompose 

 l'intervalle t^tf en intervalles assez petits pour que, dans chacun d'eux, les 

 séries trigonométriqiies classiques soient bien convergentes, et l'emploi répète 

 decesséries fournit un moyen vraiment pratique de résoudre la question III 

 pour des durées t^t^ séculaires. 



M Supposons enfin que les équations (S) définissent le mouvement d'un 

 système matériel quelconque : s'il n'existe pas de position singulière du 

 système à distance finie et si l'égalité des forces vives montre que la force 

 vive du système reste finie pour t fini, la méthode de Cauchy-Lipchitz 



(') Il suffit que les conditions initiales soient connues non pas exactement mais 

 avec une approximation t), t| étant moindre que e, par exemple égale à -• 



G R., 1899, I" Semestre. (T. CXXVIII, N' 25.) ' qS 



