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 2{in— 2), 2 [m — 4), . . ., respectivement. Pourtant, par suite de la dépen- 

 dance qui existe d;uis le cas actuel entre les formes «, |3, 7, . . ., le nombre 

 des covariants et invariants fondamentaux du système dont il s'agit est 

 bien plus restreint que si les formes a, /3, 7, ... étaient quelconques. 



» La manière dont s'opèrent ces réductions est précisément déterminée 

 par la nature des relations qui lient les formes a, /3, 7, ... entre elles, re- 

 lations qu'on peut obtenir, d'après le procédé que j'ai indiqué dans un 

 précédent Mémoire ('). Ainsi, par exemple, dans le cas (déjà bien étudié) 

 de m = 2, où l'on a entre les deux combinants élémentaires a et ^ la rela- 

 tion («, a)j, — |-|5^ = o, il y a déjà une réduction, celle de l'invariant qua- 

 dratique (a, a)j, de a'^ qui cède sa place de forme fondamentale à /3. Mais, 

 pour les cas où m > 2, le nombre de ces réductions est bien plus grand. 



» Dans ce qui suit, je vais donner quelques indications sur le système 

 complet des combinants de deux formes biquadratiques (m ^3), dont la 

 connaissance est très utile pour l'étude de plusieurs problèmes intéressants. 



» I. Deux formes biquadratiques y = rt^ et ij; = Z>^ admettent deux 

 combinants élémentaires v. = a], et (3 = ,6^., liés entre eux par la relation 



(«, a),, — (k,Ô), - (j-=o, 



où nous avons posé S au lieu de |p. On voit déjà par là que (a, 5), est ex- 

 primable au moyen de (a, a.)^ et de 0. On déduirait également de l'équa- 

 tion précédente que les formes (9,6*)2a. ? étant un covariant droit de « 

 (d'un ordre 2js<2^-), sont exprimables au moyen de covariants et invariants 

 droits de a° et des deux formes^ et Do= [0, Ô).^, et ainsi de suite. 



M Le résultat de cette recherche est que le système complet des combi- 

 nants des formes (f, ^ contient : i" huit covariants droits 



« =r a';., 6 = 01, H = H". — (a, «)o, / = /';. = [a, a),, 



/' = /'" = (a. 0^' '= ^i- = (>'')i' A=:A_^ = (/,/),, m = ;/4 = (/,/),; 



2° quatre imarianis droits 



A = (y.,a)o, Do=('5,^j,, B = (/, /),, C = (/, A), ; 



3° treize covariants gauches 



(«,(;),, («,H),, («,/),, (a,/^., (a, A),, (a,/),, [a, m),. 

 (i.Û],, f/,/),. (/,//0m (^,0),, {in,Ô),, {l,m],; 



(') Sur Ifs fiiiiccaiix de foiines binaires nyant ane même jacubicntWj p. 28-33 {^Recueil 

 des Savan's cf rangers, t. XXVII). 



