( 3. ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe d'équations linéaires du quatrième 

 ordre. Note de M. E. Goursat, présentée par M. Hermile. 



« On sait que l'intégration d'une équation linéaire du troisième ordre, 

 dont les intégrales vérifient une relation homogène du second degré, peut 

 être ramenée à l'intégration d'une équation du second ordre (Laguf.rre, 

 Comptes rendus j t. LXXXVIII, p. 124 et 216; Fdchs, Jeta matliematica, 

 t. I, p. 4i3). Il existe, pour les équations linéaires du quatrième ordre, un 

 cas de réduction analogue qui ne me parait pas avoir été remarqué. On 

 peut l'énoncer ainsi, en se bornant, pour fixer les idées, au cas des équa- 

 tions à coefficients uniformes : 



» Si les intégrales d'une équation linéaire du quatrième ordre à coefficients 

 uniformes F (m) = o vérifient une relation homogène du second degré, et une 

 seule, celle relation pouvant être ntise sous la forme u, u., = U2U3, Us intégrales 

 de cette équation sont les produits des intégrales de deux équations linéaires du 

 second ordre, dont les coejfcienls sont uniformes ou racines d'équations quadra- 

 tiques à coefficients uniformes. 



» Voici le principe de la démonstration : u,, u^, U3, u^ formant un sys- 

 tème fondamental d'intégrales qui vérifient la relation 



(l) U,U^ = HjUj, 



soient («,)', {n.,)', {113)', («4)' les valeurs que prennent ces intégrales après 

 que la variable a décrit un contour fermé. On a 



(//,)'= nu, -h hii.^ + CU3 -\- (In.,, 

 [n.)'=cu, -+- fit., -i- gii; + hu.„ 

 {uj=e'ii, +f'iu-^g'Ui+h'ii,, 

 {^u,^y = a'n, -^- li'iio-^ c'ii^-h d'n,,, 



a, b, c, d, ... désignant des constantes dont le déterminant A est dilférent 

 de zéro. Les intégrales {u,)', {lu)', («3)'. ("0' tlevront encore vérifier la 

 relation {u,y{u^)'= {u.yiii^)', que l'on peut écrire 



rt«, -+- bti.,-h cii^ -f- du,, e' «1 +/' u, -4- ij' iij -h /;' rij 



\'^) cu^+fii.-h S'i^-h à"., a'itt-i- b' ii,+ c' iti-\- d' II; 



De plus, s'il n'existe pas entre les intégrales de l'équation F(«) = o de 

 relation homogène du second degré différente de l'équation (1), comme 



