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 » Le rapport ri de deux intégrales de la première, par exemple, satisfait 

 à l'équation du troisième ordre 



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n 2 \>i' 



» Choisissons deux intégrales j-,, y., telles que le rapport — soit égal 



à &),, et de même deux intégrales z,, s, de la seconde telles que ^ = w^; 

 des relations précédentes on déduit 



^ ' ri -1 ~ .'"2-1 ""jiZj "".•),;, 



» Ceci posé, on reconnaît bien aisément que les produits /, s,, ^2 ^i. 

 /t^2) ^"2^2 constituent un système fondamental d'intégrales d'une équation 

 Iméaire du quatrième ordre à coefficients uniformes. Soient F|(P) = o 



cette équation et —r— la valeur commune des rapports (<}?); si, dans l'équa- 

 tion F, (P) = o, ou lait la transformation P = rjj[x)u, on devra retrouver 

 l'équation proposée F(m) = o. Il en résulte que ^(x) sera de la forme 

 gS^Wdx^ t!;(a;) étant une fonction uniforme de a?, et les intégrales de F(m) = o 



seront 



j.z.e-Z'î''^"'-", 7-oZ,e^/^f-''>''-% y,z..e-f^^'^'''', j.z.e'f^^''^''-'. 



» Soient maintenant 7:,(jr), 'n^ix) deux fonctions uniformes dont la 

 somme est égale à '^{x]', si, dans les équations (5), on pose 



les intégrales de l'équation proposée seront précisément les produits des 

 intégrales des deux équations du second ordre en Y et en Z. c. q. f. d. 



» Si les intégrales de l'équation ¥{u) = o vérifient une relation de la 

 forme u' = u.u^ et ne vérifient pas d'autre relation homogène du second 

 degré, on démontre, par des procédés analogues, que l'équation n'est pas 

 irréductible et admet pour intégrales les carrés des intégrales d'une équa- 

 tion linéaire du second ordre. 



» Les conclusions sont un peu différentes si l'on suppose que les inté- 

 grales vérifient deux relations homogènes du second degré. La discussion 

 comprend plusieurs cas particuliers, mais ne présente aucune difficulté. 

 J'indiquerai simplement les résultats. On est toujours ramené à l'un des 

 trois cas suivants : 



c. R., i883, 2' Semestre, {t. XCVII, S» 1.) ^ 



