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» 1° Cliaque intégrale n'admet, pour chaque valeur de la variable, 

 qu'un nombre fini de valeurs, pourvu qu'on ait fait disparaître le coeffi- 

 cient de -T-j dans l'équation proposée. 



« 2° L'intégration se ramène à deux quadratures. 



» 3° Les intégrales de l'équation proposée sont les cubes des intégrales 

 d'une équation linéaire du second ordre à coefficients uniformes. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les surfaces dit troisième ordre. 

 Note de M. C. Le Paige, présentée par M. Hermite. 



(. Nous nous proposons de faire connaître, dans ses traits généraux, 

 un mode de construction de la surface du troisième ordre déterminée par 

 dix-neuf points. 



1) Pour y arriver, nous établissons d'abord cette propriété : 



» Sij })ar un poinl P d'une surface du troisième ordre, on mène trois droites 

 arbitraires |, •/], Ç, les plans qui joignent tous les points de la suif ace à trois 

 dioiles de celles-ci, X, Y, Z ne se rencontianl pas deux à deux, coupent res- 

 pectivement S, ïj, Ç el des points ç,, vj,, Ç,- doitt les jonctions (c'est-à-dire les 

 ])lans S,, -/jj-jÇ,) enveloppent une surface de la seconde classe 1^ tangente aux 

 faces du trièdre 2y)Ç. 



)i II en résulte un moyen simple de construire la surface S3 dont on 

 connaît trois droites X, Y, Z et sept points. 



" En effet, par l'un d'eux on mène trois droites arbitraires ^, >;, Ç. Les 

 jonctions des droites X, Y, Z aux six autres points marquent sur ^, vj, Ç six 

 groupes de points ^,-, vj,-, Ç,. (« = i, 2, . . ., 6). 



» Les six plans 2,, vî,, Ç, et les faces du trièdre ^*jÇ sont neuf plans qui 

 déterminent une surface de la seconde classe ^a. 



» Il est facile, d'après cela, de construire linéairement autant de points 

 qu'on le veut de S3; ces points correspondent un à uu aux plans tangents 

 de'Ij. 



» De là nous déduirons le moyen de canstruire linéairement une sec- 

 tion de S3 par un plan quelconque. 



" Ce problème fondamental nous permettra de résoudre la question 

 suivante : 



» Construire une surface du troisième ordre dont on connaît quatre groupes 

 de trois points en ligne dioite et sept autres points. 



