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 où rexpressioii/'(Ç) — /'(s — 2a) devient et reste désormais nulle; ce 

 qui fait que les valeurs ultérieures de/'(Ç), au lieu de se déterminer par (2), 

 sont simplement égales à — /'(Ç — 2a); 2° que, depuis Ç = o jusqu'à 

 Ç = Çi, la fonction /'(Ç) oscille entre des minima et des maxima consé- 

 cutifs/'(o),/'(£),/'(2a), /'(2a + £), f'[l\a), f'[^a ^ t), e\.c., chaque 



y 



maximum f'{2nn + a) dépassant de - le minimum précédent y(2/?a), et 



la suite des maxima /'(e), /'(2rt + s), .. . formant une série d'abord 

 croissante, mais ensuite décroissante (du moins quand leur nombre 

 dépasse 2); 3° que Ç, et, par suite, le nombre de ces maxima de/'(Ç) 

 sont d'autant plus grands, que le rapporta l'est lui-même davantage; 

 4° que la déformation la plus forte —i =J'{rj)t —x)-^f'[^t -\r x — 2a) 

 se produit à l'extrémité fixex := « et a pour valeur le double, ^/'{ina -{- i) 

 du plus grand des maxima, etc. Je renverrai à la Note citée de M. de 

 Saint- Venant pour l'intégration de l'équation (2) et pour la démonstra- 

 tion (le toutes ces lois; mais ici j'aborderai d'une manière nouvelle le cas 

 où, le rapport k étant assez élevé pour que Ç, contienne un grand nombre 

 de fois ia, les minima et maxima successifs de/'(Ç) finissent par dé- 

 passer de beaucoup les ondulations irréguliéres, de longueur 2a et d'une 



y 



amplitude comparable à -? que présente cette fonction/'(Ç). 

 » Introduisons alors, au lieu dey(Ç), la nouvelle fonction 



(3) ^(Ç)=J/^.: 





moyenne des valeurs àçJ\'Ç) dans un intervalle 2a, et qui est, en quelque 

 sorte, la fonction/(Ç) régularisée, c'est-à-dire débarrassée de ses inégalités 

 de longueur 2a. Nous aurons, en différenliant (3), 



ce qui montre notamment que <|/\Ç) n'est autre, aussi, quey(Ç) régularisé. 

 D'ailleurs, une intégration par parties, effectuée sur le double du second 

 membre de (3), donne identiquement 



or le dernier terme de celle-ci, régularisé lui-même par la substitution, 

 ày(Ç — a + 6), de sa valeur moyenne dans un intervalle 2a, savoir, 



