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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sut certaines solutions particulières du problème 

 des trois corps. Note de M. H. Poincaré. 



« M. Rronecker a présenté à l'Académie de Berlin, en i86g, un Mémoire 

 sur les fonctions de plusieurs variables; on y trouve un important théorème 

 d'où il est aisé de déduire le résultat suivant : 



» Soient ^,, ^2, . . . , ^„ ?i fonctions continues de n variables x,, ce.,, . . . , 

 x„; la variable a;,- est assujettie à varier entre les limites + «j- et — a,. Sup- 

 posons que, pour a;, = «,, ^, soit constamment positif, et pour jTj = — rt,- 

 constamment négatif; je dis qu'il existera un système de valeurs des x pour 

 lequel tous les ^ s'annuleront. 



» Ce résultat peut s'appliquer au problème des trois corps et montre que 

 ce problème admet une infinité de solutions particulières jouissant de pro- 

 priétés remarquables que nous allons exposer. Nous nous restreignons, 

 bien entendu, au cas où les masses de deux des corps sont très petites. 



» Le mouvement est périodique, c'est-à-dire que, lorsque le temps aug- 

 mente d'une période constante, les trois corps reprennent la même position 

 relative. A la fin d'une période, les distances des trois corps reprennent 

 leur valeur initiale, ainsi que les vitesses relatives estimées soit dans la 

 direction du rayon vecteur, soit dans la direction perpendiculaire. Le sys- 

 tème entier a seulement tourné d'un certain angle autour du centre de 

 gravité, supposé fixe. 



» Les excentricités sont très petites et de l'ordre des masses; mais les 

 inclinaisons peuvent avoir des valeurs quelconques. 



» Dans la solution particulière envisagée, il reste encore, si les trois 

 corps sont assujettis à se mouvoir dans un plan, quatre paramètres arbi- 

 traires; s'ils se meuvent dans l'espace, il en reste huit. Ainsi, dans l'un 

 comme dans l'autre cas, il faut imposer quatre conditions aux éléments 

 initiaux du mouvement pour que ce mouvement présente cette périodicité 

 dont nous venons de parler. 



» Quand nous aurons disposé arbitrairement de huit des douze éléments 

 initiaux, noire solution particulière ne sera pas encore complètement 

 déterminée. Projetons, en effet, les deux rayons vecteurs sur le plati du 

 maximum des aires. Après une période, la projection du premier rayon 

 vecteur aura décrit un angle v, la projection du second vecteur aura décrit 

 un angle v -h -înn; nous pouvons encore nous donner arbitrairement le 



