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 son équation renfermera trois constantes arbitraires nouvelles «, (3, -y, et 

 sera de la forme 



(xsinjî + y cosp) siny — ~cos7 



1 / [(j-cosp — j>-sin|3) cosa — (.r sin/3 -H-j cosp) cosy sin « -f- ssiny sin«]- 1 

 '* ' ' [(xcosp — jsin p) sina H- (.(,■ sini3 -f- jr cos[3) C0S7 cosa — z siny cosa]^, f 



/ [i^- 



T «1, «2- 



Or, cette équation en x, y, z, qui renferme cinq constantes arbitraires, 

 a, |3, y, a,, «,, est une inlécjrale complète de l'équation aux dérivées du 

 second ordre que l'on obtient en remplaçant, dans l'équation 



(f(R,R') = o, 



R et R' respectivement par les racines de l'équation du second degré 



{rt — s''-)V,- + \li + p--hq-[[i^q'')r — 'ipqs + {i+p-)t]?y. 



(i+p^ + f/ 



2\2 . 



o 



qui exprime h valeur des deux rayons de courbure d'une surface quel- 

 conque. 



» 3. Pour déduire de cette intégrale complète 



l'intégrale générale, on en tire 



p=7z'^ [x,y^a^,a^,a.,^j^i), 

 q = Tz\. [x,y, ), 



'' = <u-(-^'r, )» 



* = <r(^'^' ^' 



t = t3-;,.(x,7, ), 



et en portant ces valeurs de z, p, 7, r, s, t dans l'équation différentielle 

 ordinaire de la caractéristique, on obtient une équation qui, étant inté- 

 grée, donne une équation de la caractéristique 



). Si l'on donne aux variables indépendantes x, j les valeurs x^, jo, les 

 quantités z^ /?, 7, s, t prennent les valeurs correspondantes z„, /Jq» ?o, -^o) 



