( 508 ) 

 coordoiinres homogènes dans le plan d'un |ioint x, le peint j, dont les 

 coordonnées sont les j,, sera parfaitement déterminé. La subslitution 

 qnadratiqne S, définie par les équations P - o, Q ^ o, remplacera le 

 point X par le point j" et pourra s'écrire 



S= I a-,- ;-,■ ! =1 Xi o,(x) |, 

 o,(.r) = P,Q.--P.Q3, ..•• 



Les équations P = o, Q = o déterminent aussi, quand on les résout par 

 rapport à x^, une substitution S^', qui remplace le point ;- par le point x. 

 (Voir, pour ce qui précède, Cleesch, Leçons sur la Géométrie, traduction 

 A. Benoît, t. II, p. 190.) 



» Cela posé, considérons deux substitutions quadratiques '• ^^'^ * 



S = I Xi Oi{x) I, 



définie par les deux équations P = o, Q = o, et 



S'= I Xi Oi{x) \. 



définie par les deux équations P' = o, Q'=:o. 



» J'appelle substilu'ion SS', produit des deux substitutions S et S', la 

 substitution qui remplace jt, par j„ j-, étant donné par les deux équa- 

 tions linéaires : 



p. _ p.oy_ + p^o,^.^ ^ p<o,^..^ _ ^^ p(o> ^ ^.,(J'^(^) + p.^ 5;(^.) ^ piJ\{x),. 



Qo = Q';y, + Q-_;-, -^ Q';>3 = o, Qi" = 7,-, rr.(.r) -1- qi, ^,{x) -+- qi, S',{x). 



ô'.(.r)=:P'3Q',-P',Q'3 



» La substitution SS' sera, en général, d'ordre quatre; s'il arrive que les 

 P'."' aient un facteur linéaire commun, s'il en est de même des Q["', les doux 

 équations P'"' = o, Q "' = o, qui définissent SS', seront linéaires, SS' sera 

 quadratique et de même forme que S et S'. Dans ce cas, S et S' font partie 

 d'un même groupe quadratique homogène à trois variables. C'est là le seul cas 

 dont je m'occuperai dans la suite; si, en effet, on n'impose pas à la subsli- 

 tution SS' l'obligation d'être quadratique, comme les deux substitutions- 

 facteurs qui la composent, le groupe dérivé de S, S', S", . . . sera un groupe 

 de substitutions Creniona; je n'entreprendrai pas pour le moment l'étude 

 de pareils groupes. 



» Un groupe quadratique est lY ordre fini s'il ne contient qu'un nombre 



