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» La formule (3) fait voir que les coefficients A,, A„ sont tons 



positifs. 



» Soit mainlennnt '■]{a:) une fonction qui reste continue et ne présente 

 qu'un nombre fini de maxima et minima entre les limites jc — a, x = b. 

 On a, dans cette supposition, le développement en série 



« 

 



Xa étant le polynôme connu de Legendre. Cette série, d'Mprès ce qu'a 

 démontré M. Heine, est convergente uniformément pour toutes les valeurs 

 de X entre n et b. Il s'ensuit qu'en posant 



ç{x)^^n,X 



n — i 



l IX — n — b 







*w=S"'^<(^^i^~-)- 



on pourra prendre n toujours assez grand, pour que a(.> ) reste constam- 

 ment inférieur en valeur absolue à une quantité arbitraire e. 

 » Or on a 



g(x) = >i[x) -\-tK[x), 



donc 



,1' 



+ J /(J?)^a(.r)f/x -^A,-^(a7,). 

 » Mais, g(j:) étant un polynôme du degré 2« - i, on a 



h " 



/ /(x)e(jr)r/.r-'yA;iG(.r,) = o. 



» De plus, les nombres A, ..., A„ étant positifs et leur somme égale 

 à / f[x)clx, on a 



"a 



" b 



^A,R(j:0<sJ f[x)(ix'. 



