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 de même, 



f y(.r ) R(x) (/x<Ce f J{x) dx. 

 » On en conclut que la différence 



est inférieur à as / f{x) t/jc. En prenant donc > A,,Ç{Xi) pour la valeur 



approchée de / f{x)Ç\{x)dx^ l'erreur peut devenir aussi petite qu'on 

 veut par une détermination convenable du nombre n. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Démonstration nouvelle du théorème fondamental 

 de la théorie des équations algébriques. Note de M. H. Dijtordoir, pré- 

 sentée par M. Hermite. 



« 1. Idée fondamentale . — Soit 



<p{z) = (p(,r +,r\/— i) = '\'(x,y) -h \/— i x(^,,v) = o 



une équation algébrique de degré n. On a, entre les dérivées partielles 

 de (j/ et de yt^, les relations connues 



^l- = Zr' ^r = - Z'r- 



1) I. Par suite, si les dérivées partielles de\ et i sont différentes de zéro, on 

 peut faire varier simultanément les deux fonctions (|/, y, chacune dans tel sens 

 que l'on veut, en faisant varier l'une ou l'autre des deux variables, positivement 

 ou négativement. 



» Cette remarque est la base de la nouvelle démonstration du théorème 

 fondamental de l'analyse algébrique. Nous supposons d'ailleius ce théo- 

 rème établi pour foule équation de degré [n — i). 



» 2. Lemmes préliminaires. — I. Si l'on fait varier x et y de matiière 

 que ^ et j^ restent inférieurs à une grandeur donnée, x et y sont aussi inférieurs 

 à une certaine limite assignable. 



» II. Si X ety restent inférieurs à une certaine valeur donnée, et si '<f{x, y) 

 reçoit un accroissement supérieur à une quantité donnée, A.x- -+- A y^ est supérieur 

 à une certaine limite assignable. 



