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m. Soient 



les racines de 9' (r) =- o. En donnant à z une valeur x + y \l~ i différente des 

 ii[n — i) racines des équations 



on pourra trouver une quantité R inférieure à 



+ nH^^j) - H^i^ j/)]' + v[/.(-i", r) - /, -^z, jr/)J% ('"=1,2, ..,»-(). 



» Il y aura une infinité de valeurs x -\- y<^— i correspondant à une même 

 valeur de K. 



» IV. Les valeurs de jr et y telles que les lemmes I, III subsistent rendent ta 

 somme des valeurs absolues des dérivées partielles de <^ et de y supérieure à une 

 constante 1. 



» Ces lemmes, faciles à démontrer, sont presque évidents si l'on repré- 

 sente les fonctions ij> et / par la hauteur u, au-dessus d'un plan xy de 

 coordonnées des surfaces ayant pour équation n = ^-r^y) ou u = -/^[x, >), 



» 3. Théorème fondamental. — Tant que x et y vérifient les conditions 

 des lemmes I, III, il est possible défaire varier simultanément les deux fonctions 

 ^ et /, chacune dans tel sens que l'on veut et de telle manière que les rapports 

 de leurs accroissements à ceux des variables ratent toujours plus grands, en 

 valeur absolue, qu'une certaine limite assignable \ X. Les seuls cas qui puis- 

 sent se présenter sont les suivants : 



IV. s/€>i^, V^>;>.; 



» Le théorème, dans les cas I, II, résulte des formules 



Aif ^-= Ajrf^.ij: -^Oà.x, j -f- 5 Ajr) + ^j\'y[jc H- Qàx, y 4- OAj}. 

 Ax = - ^x'\\{x + 6Aj7, jr + ÔA;-) + ^y^^\x + Q^x,J + ^Aj; ; 



dans les cas III et IV, des formules 



A^^j; = ^x^'^{x^(ib.x. y), A.,x = -- b.xi;^{x -^d^x.y); 

 A^<|; =^ Aj ii^{x, y + SAj), A,./ = ^yi|^{x,y -+- Q^y). 



