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» Dans les deux premiers cas, on fait varier simultanément a; et ^ de 

 manière que Aa-^ = Ajr^ ; dans les deux autres, x ou j" varie seul. On 

 passe de l'un à l'autre mode de variation chaque fois que les dérivées de 

 ij/ et ;j cessent de vérifier I ou II, ou cessent de vérifier III on IV. 



» 4. Toute équation algébrique aune racine. — I. Soient a'^,, Ja ^t-^pi^p 

 des valeurs de x,j- qui vérifient les conditions des lemmes I, III et suffi- 

 samment rapprochées pour que .si J/a ^= <r'(^a) J'a.)i P^'" exemple, est dif- 

 férent de chacune dps vnleurs iL,, <\i„, . ., An-,, il en soit de même de 

 tj^p = il;(afp, j^) et de toutes les valeurs de >]/ comprises entre (}/„ et <\i^. 

 Soit ij^a = /("^a, Ja)- D'après le n° 3, on pourra faire osciller <}; de Aaà i];p, 

 puis de '^/p à <\ia, une ou plusieurs fois, de manière que y^ tende de ^^ vers 

 zéro. Les variables varieront (lemme II) de quantités supérieiu'es à des 

 quantités déterminées. Par suite, /^ s'approchera de zéro autant qu'on le 

 voudra et finira par devenir nul. 



» II. On pourra ensuite faire osciller ^ entre deux valeurs très voisines 

 de zéro, inférieures à la plus petite de celles des quantités vj/,, (j/,, . , 

 "^n-o Xi' X2» •■■■,X"-i ^"' "^ *'-'"' P^^ nulles, pendant que '\i tend vers 

 zéro. Si l'équation (p{z) z= o n'est satisfaite par aucune des racines de l'é- 

 quation y'(s) = o, le lemme III sera toujours vérifié et les valeurs absolues 

 des deux fonctions finiront par coïncider entre elles. 



» III. On peut alors les faire tendre simultanément vers zéro jusqu'à ce 

 qne l'une d'elles atteigne cette valeur, puis l'une vers l'autre jusqu'à ce 

 qu'elles coïncident, et ainsi de suite indéfiniment. D'après le n° 3, aucune 

 des deux ne peut rester supérieure à une quantité déterminée; autrement 

 dit, elles ont pour limite zéro. 



» IV. En même temps que '^i ei X tendent vers zéro, xetj" tendent vers 

 des limites déterminées ; car la somme des accroissements des variables, 

 pris positivement, à partir d'un instant quelconque de la variation que nous 

 venons de décrire (III), ne peut devenir supérieure au quotient de la valeur 

 de la plus grande des deux fonctions à cet instant par une constante {>.'. 



» Donc toute équation algébrique a mie racine. 



» Le Mémoire complet, contenant le développement de ce qui précède, 

 sera publié ailleurs. » 



