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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les Jonnes binaires indéfinies à indéterminées 

 conjucjuées. Note de M. E. Picard, présentée par M, Hermite. 



1 J'ai déjà montré, dans une Note précédente (Comptes rendus, juin i883), 

 comment les méthodes de M. Hermite relatives aux formes quadratiques 

 indéfinies réelles pouvaient s'étendre aux formes quadratiques à indéter- 

 minées conjuguées, et, dans le cas déformes binaires, j'ai indiqué la forme 

 définie $ dont les coefficients dépendent d'un paramètre complexe, forme 

 dont on doit effectuer la réduction continuelle pour toute valeur de ce 

 paramètre. J'emploie pour une forme binaire définie les conditions de ré- 

 duction qui ont été données par M. liermite [Crelle, t. 47); elles sont très 

 convenables pour notre objet, car nous établissons qu'en général à une 

 forme définie ne correspondent que deux réduites arithmétiquement équi- 

 valentes, celles-ci différant seulement par le signe des coefficients moyens; 

 j'ajoute que dans toute cette théorie nous n'employons que des substi- 

 tutions dont le déterminant est égal à l'unité. Il suffit de donner au para- 

 mètre complexe z, entrant dans la forme $, toutes les valeurs de module 

 inférieur ou égal à l'unité; les conditions de réduction de cette forme 

 sont susceptibles d'une interprétation géométrique remarquable qui nous 

 permet d'effectuer sans peine la réduction continuelle : elles expriment 

 que le point dont l'affixe est z doit être à l'intérieur d'un polygone limité 

 par des arcs de cercle orthogonaux au cercle de rayon un. 



» Une forme indéfinie sera dite réduite si la forme définie associée $ 

 est réduite pour certaines valeurs du paramètre. On établit de suite que si 



est une forme réduite indéfinie, on a, en désignant par A le déterminant de 

 la forme (rt) <v/2A et(ac)<2A, en entendant par («) la valeur absolue 

 de a. On conclut de là que, quand A n'est pas une somme de deux carrés, 

 les coefficients de / sont limités en fonction de A, et, par conséquent, il 

 n'existe, pour un déterminant donné, qu'un nombre limité de réduites. 

 Quand A est une somme de deux carrés, il existe une ou plusieurs réduites 

 dans lesquelles a est nul, et la démonstration du théorème précédent se 

 fait en montrant que, dans ce cas, (c) est au plus égal à y/aA. 



» Pour plus de simplicité, nous pouvons supposer que la forme initiale 

 /est réduite; on prend alors la forme associée <I>, dont j'ai parlé plus haut 



