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 niors X- fa") -- Q„ et 



(G) P„^f^M^^fill,A.)./., 



(7) q„p._p„==^"Ml)/(,)^,, 



.. En faisant attention aux équations (4), cette dernière formule fait 

 bien voir que le développement de Q„ù — P„ suivant les puissances des- 

 cendantes de jc commence par un terme en .x~"^' . 



» f^a comparaison de (2) et (6) donne 



M Si l'on suppose .r, >■ .'r5> a-;, . . ., les valeurs Q,j(.r,), Q'„{^2), • - • seront 

 alternativement positives et négatives. A^ étant positif, il s'ensuit que de 

 mémeP„(a;,), P„(a'2), ... seront alternativement positifs et négatifs. Donc 

 les racines de l'équation 



séparent celles de l'équation 



» En posant .r ^= .t,^ or = x„, . . . dans la relation connue 



V„{x)Q„_,[x) — P„_,(^)Q„(a;) = c^lX.-- K-,, 



on verra facilement que, de même, les racines de Q„_,(a;)=:o séparent 

 celles de Q„(a;)=:o et, de plus, que roX.X, . . .X„_, est positif. Cette con- 

 clusion subsistant pour toutes les valeurs de n, on voit que X,, )j, 1^, . . . 

 sont tous positifs. 



» Considérons encore la relation 



Q„ r= {jc — a„_,)Q«-, — >.„-iO„-2. 

 d'où 



= (jtr,— «„„,)Q„_,(a7,) - ).„_,Q„_2(a;,), 



» On voit facilement que Q„-i(i',) et Q„-i{cc^) sont positifs, tandis 

 que Q„_i(a„) et Q„-2('^«) sont de signes contraires. Tl s'ensuit que «„_, 

 est compris entre ,r, et x„. 



» En somme, nous pouvons affirmer que dans le développement en 

 fraction continue (5), XijXjiXj, . . - sont tous positifs, tandis que «„. k,, 

 c<2, . ont des valeurs comprises entre a et h. » 



C.R., i883, 2* 5fm«frf. (T. XCVIl, N'IS ) 1^5 



