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 l'expression (i) comme il suit : 



I v^ /•'■ 



P'"'(z) 



où l'on suppose r<r'; P'"'(z) est le polynôme de Legendre. 



» Il s'agit maintenant de remplacer z, dans ce polynôme, par sa 

 valeur (2). 



» Quand on ordonne le résultat suivant les cosinus des multiples de 3, 

 on a la formule remarquable de Laplace. 



» Mais, dans la théorie des perturbations, on est amené à déve- 

 lopper Pf"'(z) suivant les cosinus des multiples de it et u'; Hansen a donné 

 l'expression générale du résultat ('); mais sa démonstration est très com- 

 pliquée; depuis, M. Cayley l'a simplifiée (*). 



» Je suis arrivé à en donner une qui me paraît très satisfaisante, et qui 

 m'a conduit à généraliser certains résultats auxquels j 'étais arrivé dans un 



travail antérieur 

 » Je pose 



«'+ n —J, 



2J 



COS''- 



sin-- = V : 

 2 



d'où 



fj. -4- y = I , 



(3) z = p. cosa:- + V COS7. 



» Il faut trouver ce que devient P'"*(z), quand on y remplacez par son 

 expression (3), el développer le résultat suivant les cosinus des multiples 

 de X et y. Je pose 



(4) PW (z) =3 4 2 C;."j co%ix cosjx 



en convenant de remplacer le facteur 4 pat* 2, lorsque l'un des indices i 

 et y est nul, et par i quand ils sont nuls tous les deux; i et j sont positifs, et 

 le signe 2 s'étend à toutes les valeurs entières pour lesquelles l'expres- 

 sion 71 — i — j est positive et égale à un nombre pair. 



[ ' ) Mémoires de la Société des Sciences de Saxe, t. II. 



(*) Mémoires de la Société royale astronomique, t. XXVIII. 



