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» II s'agit de trouver l'expression générale de C/'j. 



» Pour y arriver, je vais former une équation aux dérivées partielles du 

 second ordre, que vérifie la fonction P*"'(z), considérée comme une fonc- 

 tion de X, j et J. 



» Ou trouve aisément, en ayant égard à (3), 



d'-pc) , . „ ir-p("){z] (/p('0(z) 

 , , = v" sin'' y —^ V cos y — ; 1 



dj'^ '' dz- -^ dz 



dP(") J . ,, ,rfP("'(3) 



-sin J(cosj- — cosa) — — 



di 2' 



-^^ = ^sui-J(cosr - cos.t)- -^^ -h -cosJ(cos; -cosx) -^ • 



On a, du reste, l'équalion bien connue 



En partant de ces équations, on trouve aisément 



■•^ /• (J2p(K) ^dPf") I (92P(«> T d^PC) , >,,,,,, 



^ ' oJ- yJ ,ti djT- J y/- ^ 



c'est l'équation cherchée. 



» En y substituant pour P'"' son développement (4), on trouve 



(6) :^+cotj^ + [«(. + .)-J-C]ci:^-- 



En formant les valeurs de C)"j, pour « = i , 7i = 2, . . ., on est amené à 

 penser que C)"] contient en facteur /j.'v^; c'est, du reste, cq qu'on pourrait 

 démontrer en partant de cette formule de Jacobi 



J' ij^(fj(,cosa--)cosia;^a; =^ ^-j — '" . _ ; / (];'''( acosx) sin^'x<j^x. 



» Posons donc 



(7)- C-^^'v^A-; 



nous trouverons que l'équation (6) devient 



+ {n — i -j){n + i +/ + i)A;."; =- o, 

 équation beaucoup plus simple que (6). 



