(8,8) 

 » Au lieu de J, j'introduis v = sin-'-j et je trouve 



o = (v-v^)^ 



4- [2; -h I - 2{i+i -f- i)v]^ + (« - i -/)(" + ^■+/ + oa;?;. 



On reconnaît l'équation différentielle de la série hypergéométrique. On 

 aura donc, en désignant par k['j une constante, 



A^"] = k\"'jF{i -\-j-n, t + / + « + i , 2/ + i , v) , 



(8) c;."j = A-;/'}fjL'v-'F(/ +/ -- n, i+j + n + ï, 2J-hi, v). 



La série hypergéométrique se terminera d'elle-même, parce que i-\-j — n 

 est un nombre entier négatif. 



» On a ainsi la formule cherchée 



(9) P""(z) = /ii/f;."] p.'v>F(Z +/ - n, i + / + rt + 1 , 2; + I, v)cos/a; cosj'f. 



Il ne reste plus qu'à déterminer k'/j. 



» Pour y arriver, je remarque que le terme du degré le plus élevé en 

 V, dans ¥{[ + j — n, î +/+ «+ i , 2; H- i , v), est 



(_,)«-w 



( ' + ,/ H- « + 1 )(^'+./-H/? + 2). ..2n i_j 



(ay -f-i)(2y4- 2)...(« — i-î-y) 

 où l'on a, du reste, 



le terme de degré le plus élevé dans [x'v^ ^ v^(i — v)' est 



on aura donc 



p('"(z) = /4v"2(-i)'^;.;' 



j 



^ ' X -^ ^^ , rCOS?XCOSJV'+^|l' +A2V'' ■" -r- ... 



^ n(« + i+y)n(« — /+y) '-^ 



On a, d'autre part, 



^ •' 1.2.3. ..« L ' 2/î(2«— 1) J 



et, en remplaçant z par 



z = p. cosa; + vco.sj-= coSoT + v(cosj-— cosa;). 



