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 indépendantes ou l'nne des dérivées du premier ordre, cette équation se 

 prête aux transformations dont nous nous sommes occupé, et l'on a tou- 

 jours les éléments nécessaires pour les exécuter. 



» L'opération dont il s'agit consiste à réduire d'abord l'équation pro- 

 posée à la formule suivante : ' 



F{x,y,p, r,s,i) = o 

 ou 



ce qui peut être obtenu à l'aide des transformations déjà connues, celle 

 de Legendre ou d'autres analogues ; puis, il faut substituer /• et s, ou bien s 

 ett, à la place des variables indépendantes, et p — [rx -h s/), ou bien 

 p — {sx -+- ty), à celle de la fonction inconnue, ce que permet de faire 

 sans aucune difficulté la méthode que nous indiquons; il reste enfin à ap- 

 pliquer la transformation de Legendre à l'équation obtenue. Toutes ces 

 substitutions, comme on le conçoit aisément, se peuvent composer en une 

 seule. 



» La transformation dont nous faisons connaître le principe présente un 

 double avantage ; 



» 1° L'équation définitive-, à laquelle on parvient, est toujours linéaire 

 relativement aux dérivées du second ordre; le célèbre Mémoire d'Ampère 

 sur les équations de cette espèce donne une certaine importance à ce ré- 

 sultat, qui peut s'énoncer ainsi : 



» Toute équation aux dérivées partielles du second ordre, oh manquent la 

 fonction inconnue et l'une de ses dérivées du premier ordre ou bien l'une des 

 variables indépendantes, peut être réduite à la forme linéaire relativement aux 

 dérivées du second ordre, par une transformation dont on connaît toujours les 

 éléments, sans aucune intégration, et la résolution de l'équation transformée en- 

 traine celle de la proposée. 



» 2.° Le second avantage de la substitution indiquée, c'est que l'équa- 

 tion transformée peut admettre des intégrales intermédiaires, alors même 

 que la proposée n'en admet aucune. C'est ce qu'il est facile de concevoir, 

 si l'on réfléchit que nous substituons, à la place des variables indépen- 

 dantes, deux dérivées du second ordre de la fonction cherchée. 



I) Nous avons appliqué tout d'abord la méthode qui vient d'être expo- 

 sée aux équations de la forme suivante : 



F(r, j, t) = o, 



