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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les formes quadratiques ternaires indéfinies à 

 indéterminées conjuguées el sur les groupes discontinus correspondants. Note 

 de M. E. Picard, présentée par M. Hermite. 



« Considérons la forme quadratique ternaire aux indéterminées conju- 

 guées X et Xo,J- et jo, - et ^o, 



F = ajcx^ -h rt'jjTo + a"zz„ + bjz^ 



+ ^ojToZ -hlj'zxo + ^'oZo^ + b"xja + ^o^ojr. 



où a, a', a" sont des entiers réels, et les autres coefficients sont des entiers 

 complexes deux à deux conjugués. 



» Nous supposerons la forme F indéfinie et réductible au type 



où K, V, (V sont des expressions linéaires en x, y, z ; soit 



u = ax -h ^/ -h yz, V = a'x ■+- ^' y + -y'z, \v = ot."x ■+■ ^"j + y z. 

 » J'associe à la forme indéfinie F la forme définie suivante : 



^ = (i — ?Ço — ■>î''3o)F + 2norme(?/^ + cvj + w); 



cette forme est définie, si les deux paramètres complexes arbitraii'es Ç et -n 

 qui y figurent satisfont à l'inégalité 



» Désignons, pour simplifier, par point (?,>;) un système de valeurs des 

 paramètres S, et ri. L'ensemble des points (^, vj) satisfaisant à une ou plu- 

 sieurs conditions d'inégalité formera ce que nous appellerons un domaine 

 de points. Ainsi, par exemple, l'ensemble des points satisfaisant à l'iné- .[ 

 galité (i) formera un domaine que nous désignerons par S, et les points 

 pour lesquels 



(2) ??o4-vî-,îo = i 



formeront la limite ou surface de ce domaine. 



» Une forme indéfinie F sera dite réduite, si l'on peut trouver dans le 

 domaine S des points (^, vj) pour lesquels la forme définie $ soit elle-même 

 réduite. J'emploie pour une forme quadratique définie à indéterminées 

 conjuguées et à coefficients d'ailleurs quelconques les conditions de ré- 

 duction indiquées par MM. Korkine et Zolotareff {Math. Jnnalen, t. VI) : 



