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 une forme ternaire définie et positive est réduite si on peut l'écrire 



(x, norme (a; ■+■ t/ + î'z) -+- jjL2norme(^ + î"z) 4- f^a-So» 



où ly.,, j7,2, [/.3 sont évidemment positifs, avec les conditions 



de plus, dans chacune des quantités complexes e, la partie réelle et le coef- 

 ficient de \/ — I ne surpassent pas |^en valeur absolue (' ). 



» Le premier point fondamental à établir est que le nombre des formes 

 indéfinies réduites, à coefficients entiers, ayant un déterminant donné A, 

 est limité. 



» Ceci admis, soit une réduite indéfinie F; la forme définie correspon- 

 dante $ sera réduite pour certains points (Ç, yj) situés dans S, et formant 

 un domaine D. Il est fort important de savoir si ce domaine a des points 

 communs avec la limite de S; j'établis d'abord que, pour qu'il en soit 

 ainsi, a doit nécessairement être nul; ensuite, si (?,■/)) désigne un point 

 commun à D et à la limite de S, on aura 



a? + a'-/) + a"=o, /3^ + jS'yj + |3"= o, 



ce qui montre que D ne peut avoir plus d'un point commun avec cette 

 limite. 



» En écrivant que le point (?,V3) déterminé par les équations précé- 

 dentes satisfait à l'égalité (2), on trouve b"b"o — ad = o. Par suite, les 

 réduites pour lesquelles a = o et è" = o sont les seules pour lesquelles le 

 domaine correspondant D peut avoir un point commun avec la surface 

 de S. On démontre de plus que cette condition nécessaire est en même 

 temps suffisante. 



» Nous sommes conduit maintenant à rechercher s'il existe toujours, 

 quelle que soit une forme indéfinie donnée, des réduites qui lui soient 

 arithmétiquement équivalentes, et dans lesquelles a et b" sont nuls. // en 

 est effectivement ainsi, et c'est là un point qui distingue la théorie des formes 

 ternaires à indéterminées conjuguées de celle des formes ternaires réelles. 

 Nous commençons par montrer que zéro peut être représenté par toute 

 forme ternaire indéfinie à indéterminées conjuguées; on sait qu'il n'en est 



(') On trouvera développée cette théorie de la réduction des formes définies à indéter- 

 minées conjuguées dans le beau Mémoire de M. Camille Jordan sur l'équivalence des formes 

 algébriques [Journal de l'Ecole Polytechnique, t. XXIX). 



