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 pas ainsi pour les formes ternaires réelles (GaUSS, Recherches arilhmétiques, 

 11" 294). 



» Revenons à la réduite indétînieFet au domaine correspondant D. 



» Lorsque le point (^, yj) sort du domaine D, il faut, suivant les circon- 

 stances de la variation de ce point, employer certaines substitutions pour 

 réduire la forme de nouveau; on obtient ainsi, en employant la totalité des 

 substitutions propres à réduire iî> de nouveau, des domaines D', D", .... 

 On continue de cette manière à effectuer la réduction continuelle de la 

 foiine 0, jusqu'à ce qu'on ne trouve plus de nouvelles réduites, ce qui 

 arrivera nécessairement, puisque le nombre des réduites est limité. Dési- 

 gnons par â le domaine total formé par les domaines D, D', Lorsque 



le point (2, vj) sort du domaine ô, on retombe sur une réduite déjà obtenue, 

 à laquelle se trouve ainsi correspondre un nouveau domaine D,. Suppo- 

 sons, par exemple, que nous retombions sur la réduite F. En faisant passer 

 (Ç, ïj) du domaine D dans le domaine D,, on est alors conduit à une sub- 

 stitution à coefficients entiers 1 transformant F en elle-même; à une telle 

 substitution correspond manifestement une substitution liuéaiie(qui n'est 

 plus alors nécessairement à coefficienls entiers) faite sur ii, v, iv, soit 



[h. i', n', Au + Bt' + Cir, A' u + B'c 4- C'tr', A"« 4- B".' -f- C'w). 



"' » Quand on effectue sur x, y, z la substitution 2, la forme devient 



(i— 1^0— •/3y)o)F + 2norme[(A;^ -+- Bt'4-CHy)^ 



+ [k'u -\- BV + Cwyn -H k"u -h B"i' + C'w\ 



ou, en divisant par une expression positive et posant 



•. ■ ^, _ A;-t- A'/: + A" , _ Bg + B'<i + B'^ 



i5> ; ? — G? -t- C'a + C" ' ''' ~ C| + C-, + C"' 



cette forme peut s'écrire 



{ï — ;';'„ — -/î'ïîî,) F + 2norme(/<;' + i'y)'+ ir). 



» On en conclut que l'on passe du domaine D au domaine D, en effec- 

 tuant sur (^, vj) la substitution (c). En continuant d'effectuer la réduction 

 continuelle de la forme $, on obtiendra un groupe d'une infinité de sub- 

 stitutions telles que («), et ce groupe sera discontinu. Le domaine § est 

 un domaine fondamental de ce groupe, c'est-à-dire qu'à tout point (E, jj) 

 du domaine S correspondent, par une substitution du groupe, des points 

 en nombre limité au moins égal à i, à l'intérieur de §. Ce domaine a un 

 nombre limité de points communs avec la surface de S; c'est la un résultat 



c. K., i»83, 2- Semestre. (T. XCVIl, N« IS.) ' ' ' 



