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 extrêmement important, comme je le montrerai bientôt, pour l'étude des 

 fonctions des deux variables indépendantes ç et vî, qui restent invariables 

 par les substitutions du groupe (a). » 



GÉOMF.TRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les surfaces dont la courbure lolale 

 est conslante. Noie de M. G. Darbocx. 



« On connaît les beaux résultats obtenus, depuis Monge, par un grand 

 nombre de géomètres, en ce qui concerne la détermination et l'étude des 

 surfaces niinim.i. La théorie des surfaces dont la courbure totale est con- 

 stante a les rapports les plus étroits avec celle des siufaces minima, bien 

 qu'elle soit certainement de beaucoup plus difficile. 



>) Par exemple, la détermination des surfaces minima dépend de l'équa 

 tien 



que l'on sait intégrer; celle des surfaces à courbure constante se ramène, 

 d'après M. Weingarten, à l'équation 



(a) i =r rzf^-f- hir', 



qui comprend évidemment la précédente comme cas particulier. 



» Parmi les considérations de Géométrie qui permettent aussi d'établir 

 un lien entre les deux problèmes, je signalerai d'abord la suivante : On 

 sait qu'il existe toujours deux surfaces dont la courbure Dioyenue est con- 

 stante et qui sont parallèles à une surface dont la courbure totale est con- 

 stante. On voit donc que la détermination des surfaces à courbure totale in- 

 variable se ramène à celle des surfaces dont la courbure moyenne est 

 constante : or ces dernières comprennent évidemment comme cas parti- 

 culier les surfaces minima. 



» On peut aussi se placer au point de vue de la Géométrie projective. 

 Considérons une surface du second ordre (Q) et proposons-nous de déter- 

 miner les surfaces (2) telles que les deux tangentes aux lignes asympto- 

 tiques qui passent en chacun de leurs points soient conjuguées par rap- 

 port à la surface (Q). Cet intéressant problème se ramène, il est aisé de le 

 reconnaître, à la détermination d'une surface à courbure constante ou, ce 

 qui est la même chose, à l'intégration de l'équation (2). Mais, si l'on sup- 

 pose que la surface (Q) dégénère et se réduise au cercle de l'infini, les sur- 



