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 faces (2), d'nprès leur définition, devront avoir leurs tangentes asyniptotiques 

 rectangulaires et se réduiront, par conséquent, à des surfaces minima. 



» Je reviendrai sur toutes ces analogies. Mais, pour le moment, je me con- 

 tenterai de rappeler que la détermination des surfaces à courbure constante 

 exige l'intégration de l'équation (2) et que tous les efforts tentés jusqu'ici 

 pour l'intégration de cette équation ou de celles dans lesquelles on peut 

 la transformer ont complètement échoué. Ces efforts ont néanmoins con- 

 duit à des résidtals très intéressants, et l'on coniiaît aujourd'hui différents 

 procédés qui permettent, une surface à courbure constante étant supposée 

 connue et donnée, d'eu déduire une infinité d'autres ayant la même pro- 

 priété. 



w Le premier de ces procédés se présente presque immédiatement. Il est 

 clair que, sif^Xyj') est une solution de l'équation (2), il en sera de même 



de /(— ' .}'"), où m désigne une constante arbitraire. Cette remarque a 



déjà été faite par M. Lie et elle permet évidemment d'atteindre le résultat 

 cherché. Toutefois, il est utile de le remarquer, les surfaces que l'on fait 

 ainsi dériver d'une surface donnée ne sont pas complètement connues : on 

 a bien les valeurs des six quantités qui figurent dans les formules de 

 M. Codazzi, mais la détermination des trois coordonnées rectilignes d'un 

 point de la surface en fonction des deux coordonnées curvilignes n'est pas 

 faite et exige l'intégration, qui peut bien être impossible, d'une équation de 

 Riccati. Avant de terminer ce qui regarde cette première méthode, remar- 

 quons, avec M. Lie, qu'elle se rattache de la manière la plus directe à un 

 beau résultat obtenu par M. Bonnet. Dans son Mémoire sur In ihéorie des 

 surfaces applicables, M. Bonnet a généralisé une propriété qu'il avait déjà 

 établie pour les surfaces minima et il a montré que, étant donnée une sur- 

 face à courbure moyenne constante quelconque, elle a ses lignes de cour- 

 bures isothermes, et l'on peut toujours en déduire une infinité de surfaces 

 à courbure moyenne constante et qui sont applicables sur la surfjice 

 donnée avec conservation des rayons de courbure principaux aux points 

 correspondants. Il suffit de considérer les surfaces à courbure totale con- 

 stante parallèle aux précédentes, et il est aisé de reconnaître qu'elles se 

 déduisent de l'iuie quelconque d'entre elles par le procédé que nous ve- 

 nons de rappeler plus haut. 



» Il existe une autre méthode bien pins féconde et qui permet de déduire 

 d'une surface à courbiu'e constante donnée une infinité d'autres surfaces 

 de même définition et contenant dans leur équation autant de constantes 



