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» Si l'on pose 



z = cosV = [j. cos.r + V cosj, 



(a) ^„y = 4 ^ K] cosix cos;j, 



on a l'expression suivante pour Rj"j : 



(A) R^-O'^^F^l^^^'^-^i^ + ^y + ^v 



où l'on a 



'.y 



^ 1±1±J\^I" 



n[^^^^)u('l^i^)iuu)r- 



» Nous venons de voir que, en désignant par P'"'(c) le polynôme de 

 Legendre, on a, en donnant à z la même valeur, 



z ^ IJ. cosa: + y cosj', 



{a') Pf") ( s ) = 4 2 A ;."} cos / jc cos/jr , 



(//) A^;;;. = ^;."}fi'v^F(?+/-7i, ,+/ + n4-i, 2; + i, v). 



L'analogie des formules («) et [b] avec («') et {b') est manifeste. 



» Pour la mettre mieux en évidence, remarquons que l'on tire de [b) 



R15"ô; = c;=:^fx='v=^P(^^/~«, i+/ + « + i, 2/ + i,v). 



En comparant cette formule avec (^'), on trouve 



I>i2«) — '■■it.ij r Atnns 

 "2/, 27 [/■'.''ili' I- ''.y'J • 



Ainsi donc le coefficient de cossix cos2jy, dans la fonction 



sin(2/2 H- i) V s]n[[in + 1] arccosz] 



sinV 



s/.- 



est, à un facteur constant près, le carré du coefficient de cosix cosy j, dans 

 la fonction P''''(z), quand on remplace, dans l'une et l'autre de ces fonc- 

 tions, z par 



, J ■ , J 



ft cosap + V cosj>' = cos" - cosa? -f- sin- - cosy. 



La raison de cette analogie peut être cherchée dans le rapprochement 

 suivant : 



