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 M Si l'on pose 



2(«i^ sin("-+-i1V 



sinV 

 où cosV ^ r, on a, en supposant 5 <C i , 







u 



Ainsi la fonction ;; -, qui donne naissance aux polynômes Z'"', est 



I — 29z + 9- T 1 J 



le carré de la fonction i d'où sortent les polynômes P'"'. 



» On se trouve naturellement conduit à la question suivante : 

 » Considérons les fonctions ?'"'(/?, z) définies par cette équation 



(17) — e:^ =V 5«p""(/,, .), 



( I — -?, 9 ,- -h 6- ) - 



dans laquelle /? désigne un nombre entier égal à 9. ou plus grand que 2. Il 

 faudrait trouver une formule générale donnant le développement du poly- 

 nôme P'"'(/J, :■). suivant les cosinus des multiples de x etj', quand on pose 



z := [7, cosa; + v cosj^'. 



Ces polynômes sont ceux que M. Heine a nommés fondions sphéiiques 

 d'ordres supérieurs. 



« Pour p = ■>., on a P'"'(2, z) = P'"'(r): 

 » Pour /> = 3, on a P'"'(3, z) r= Z'"'. 



On voit, par ce qui précède, que le problème est résolu complètement 

 pour ces deux valeurs de p. 



» La question générale par^tît assez difficile; je ne suis arrivé à la ré- 

 soudre que dans un cas particulier. Dans l'espoir de provoquer de nou- 

 velles recherches sur ce sujet intéressunf, je vais faire connaître le résultat 

 auquel je suis parvenu. 



» Je suppose/J = 2^ + 3, où (/est un entier positif. La formMle(i'7) 

 donne 



•8) (7-^ôïVi^=X'"P""(^-^-^^'- 



