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 avec cette expression de $, 



1.2 [■în + q][in -\- q — l] ^ ' 



» Dans tous les polynômes hypergéométriques qui figurent au second 

 membre, on a omis, pour abréger, le second élément / + i, et le troisième 

 af + I, qui sont les mêmes partout, ainsi que la variable, qui est sin-J; 

 la série de ces polynômes se terminera d'elle-même par les facteurs n — /, 

 n — i — I,.... On arrive à trouver une expression condensée pour $, 

 au moyen du théorème suivant : 



» Soient a un nombre entier négatifs ^, y, f et g des quantités quelconques ; 

 on a 



F(a, /3, 7,a;) + ^ ^r(a H- I , /3, 7, x) 



(24) -^±±2lll^F{cc + 2,fi,y,a:)+... 



g{g + l). . .{g — a — i) \ 'i ' D' «' y oi /' 



OÙ La somme des polynômes hypergéométriques du premier membre, qui sont du 

 premier ordre, se trouve ainsi exprimée au moyen d^un polynôme hypergéomé- 

 trique du second ordre. 

 » Si l'on fait 



a = i — n, f ■=■ — «, 



P= '■^-T^ g = -2n-q, 

 7 = 2 1 + I ; 



$ sera égal au premier membre de l'équation (24); on trouvera donc 



$ _ {n + q){n -h'q — 1) . . .[g -h i + i] 



[2n-{- q){-in-i- q — i)...(n-h q -h ' -hi) 

 XF{i — 7i, i + I, ?i -h i -\- q -{- \ ; 2/-t-i, i+'q-hi, sin^J); 



en portant cette valeur de dans (22), on obtient la formule cherchée (20). 



» Démontrons l'égalité (24); si nous représentons son premier membre 



par T, et si nous développons les polynômes F suivant les puissances de x, 



