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GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces à courbure constante. Note de M. G. Darbocx. 



« Pour démontrer l'élégante proposition de M. Bianciii, je m'appuierai 

 sur la remarque suivante. Considérons sur une surface (2) un système de 

 courbes parallèles (C) et les lignes géodésiques [g) qui sont leurs trajec- 

 toires orthogonales. Les tangentes aux ligues [g) sont normales à une cer- 

 taine surface (S) et touchent une seconde surface {!'); {!) et [!') sont les 

 deux nappes de la surface des centres de courbure de (S). En outre, (2') 

 est le lieu des centres de courbure géodésique des courbes parallèles (C) 

 tracées sur (2). Il est clair d'ailleurs que la relation est réciproque, et si 

 l'on considère sur (2') les lignes géodésiques (^') tangentes aux normales 

 de (S) et leurs trajectoires orthogonales (C), les centres de courbure géo- 

 désique de ces trajectoires .sont sur la surface primitive (2). 



» Cela posé, cherchons s'il existe une surface (2) sur laquelle on puisse 

 tracer des courbes parallèles (C) ayant en chacun de leurs points un rayon 

 de courbure géodésique constant, égal à i par exemple. Si l'on rapporte 

 la surface au système de coordonnées formé de ces courbes parallèles et de 

 leurs trajectoires orthogonales, l'élément linéaire prendra la forme 



et l'on devra avoir 

 d'où l'on déduit 



du ^' 



c = e*", 



et, par conséquent, la courbure totale de la surface sera constante et égale 

 à — I. Nous prendrons, pour préciser, 



(i) '^^"^^'[cfs^=du^+e"'di>\ 



Considérons maintenant la surface (2') qu'on associe à (2) dans la propo- 

 sition précédente. D'après cette proposition, les courbes (C) tracées sur 

 (2') auront leurs centres de courbure géodésique sur (2); leur rayon de 

 courbure géodésique sera égal à i, et, par conséquent, (2') sera, comme 

 (2), une surface à courbure constante — i. On reconnaît facilement que 

 l'élément linéaire de (2') prend la forme 



( 2 ) ds"^= du^ -(- e~-" dw- . 



