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 Quant k la surface (S), elle jouira de la propriété que la différence de ses 

 rayons de courbure sera égale à i . 



» Voici maintenant la méthode que M. Blanchi a déduite flu théorème 

 précédent. Considérons une surface quelconque {!) à courbure — i. On 

 peut obtenir un nombre simplement infini de systèmes coordonnés don- 

 nant à l'élément linéaire la forme (i); il suffit, en effet, d'associer aux lignes 

 géodésiques passant par un des points à l'infini de la surface leurs trajec- 

 toires orthogonales. On pourra donc de (2) déduire une surface {!') con- 

 tenant dans son équation une constante arbitraire. Partant ensuite de {!'), 

 on obtiendra des surfaces {!") formant un système à deux constantes ar- 

 bitraires, et ainsi de suite. M. Lie a fait la remarque capitale que l'applica- 

 tion indéfinie de ce procédé n'exige qu'une suite de quadratures, et cela 

 résulte presque immédiatement de la démonstration géométrique précé- 

 dente. 



» En effet, la formule (2) nous montre que 



ff'sjds'^ — dti' = thv 



sera une différentielle exacte. Il suffira donc d'effectuer cette quadrature, 

 où tout est connu, pour obtenir \v et ramener l'élément linéaire de (2') à 

 la forme (2) qui entraîne la connaissance de toutes les lignes géodésiques 



de (r). 



M Le théorème donné par M. Ribaucour en 1870 [Comptes rendus et Bul- 

 lelin de la Société pliilomathique) peut s'énoncer comme il suit : 



» Considérons une surface (2) à courbure — i, et traçons dans chaque plan 

 tangent de la surface un cercle de rayon i ayant son centre au point de contact 

 M de ce plan tangent; les cercles ainsi obtenus seront orthogonaux à une famille 

 de surfaces, toutes à courbure constante — i; et, en outre, ces surfaces feront 

 partie d'un système triple orthogonal dont les deux autres familles seront évidem- 

 ment composées de surfaces enveloppes de sphères. 



» La première partie de cette proposition résulte immédiatement du 

 théorème de M. Bianchi, car les différentes surfaces (2') qu'on fait dériver 

 de (2) dans la méthode de M. Bianchi sont évidemment les trajectoires des 

 cercles considérés par M. Ribaucour. Au reste, les deux propositions se 

 déduisent l'une de l'autre, celle de M. Ribaiicour contenant en plus ce qui 

 concerne le système triple orthogonal. 



■*|'» Dans mon Cours de l'année dernière, j'ai donné du théorème de 

 M. Ribaucour une démonstration géométrique directe qui se rapproche à 

 quelques égards de celle qu'on trouve dans un travail récent de M. Ràck- 



