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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l' éxfuation aux dérivées partielles des sut faces 

 à roui bure constniite. Note de M. G. Darbocx. 



« Dans ma dernière Communication, j'ai éié conduit au système suivant 



do do 

 du dv 



de d'.: 



I dO dw . a 



-r h- -j- = sinScosw, 



] du de 



(0 \ ^« ^., 



= — sin w cos6. 



de du 



qui va me permettre de me placer à un point de vue purement analytique 

 dans l'élude du problème, objet principal de ces recherches, 



» Considérons le système (i) comme formé de deux équations simultanées 

 auxquelles doit satisfaire la fonction inconnue : l'élimination de la fonc- 

 tion 6 nous montrera que ces deux équations ne sont compatibles que dans 

 le cas où u satisfait à l'équation 



/ » d'w d'M 



2) -7-r r-— + SU1 W COS« = O. 



^ ' dv^ du'- 



Réciproquement, si w est une solution quelconque de cette équation aux 

 dérivées partielles, l'intégration du système (i) nous donnera une valeur de 

 5 contenant une constante arbitraire; et cette valeur de B sera également 

 une solution de l'équation (a). Nous pouvons donc énoncer le théorème 

 suivant : 



» De loute solution w de l'équation (2) on peut déduire une solution 7iouvelle 

 contenant une constante arbitraire : c'est la valeur la plus générale de satisfai- 

 siint aux équations (i). 



» A la vérité, on ne sait pas intégrer d'une manière générale le système 

 (i), mais la forme des équations qui le composent nous permet de recon- 

 naître que l'on pourra obtenir la valeur la plus générale Ô' de ô qui puisse 

 y satisfaire dès que l'on en connaîtra une solution particulière quelconque 6. 



» Effectuons, en effet, les quadratures définies par les formules 



I tien = cusô cosœ du -+- sin w sinôdi', 



(3) < e~'^(i^ = c.os(us\ï) 6 I lu — sinw cos0 r/V, 



( e" (ly = cos ^iu w (lu -+- sin Q cos w cii>. 



