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 » Il suffit maintenant de commencer les calculs qui conduisent aux nou- 

 velles solutions, pour reconnaître que ces calculs n'exigeront plus aucune 

 quadralure. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la reproduction des formes. 

 ■ ()te de M. H. Poincaré, présentée par M. Bouquet. 



<i II est facile de trouver quelles sont les formes algébriques homogènes 

 de «variables qui se reproduisent par une substitution linéaire infinitési- 

 male donnée, ou encore celles qui ne sont pas altérées par deux ou plu- 

 sieurs substitutions linéaires infinitésimales /)ermu/a6/e5 entre elles. Il reste 

 à voir comment on peut trouver toutes les formes qui sont reproductibles 

 par deux ou plusieurs substitutions linéaires infinitésimales non permu- 

 tables. J'ai résolu ce problème pour quatre variables et deux substitutions 

 dans le 1/ Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, et depuis M. Lie 

 a étendu la solution au cas de trois substitutions et de quatre variables, 

 en considérant même des fonctions non algébriques. Je vais l'étendre 

 maintenant au cas de deux substitutions et de n variables. Je dis qu'une 

 substitution est canonique lorsqu'elle est de la forme 



[cc^, X2, ■ . ., ir„; a, X, , «o ^2, . . . , x„cc„j. 



» En général, une substitution linéaire quelconque peut se mettre sous 

 la formeT~'ST, S étant canonique; les substitutions qui font exception 

 peuvent s'appeler paraboliques, puisque c'est ainsi qu'on les nomme dans 

 le cas de deux variables. Je supposerai que, dans le groupe qui n'altère pas 

 la forme envisagée, on peut toujours trouver une substitution non para- 

 bolique. Alors, en choisissant convenablement les variables, elle sera ca- 

 nonique. 



» Cela posé, si une forme F est reproductible par une substitution li- 

 néaire infinitésimale, elle satisfera à une équation de la forme 



(i) IanXip^=o, 



où p^ désigne la dérivée de F par rapport à X/,. L'une des substitutions 

 étant canonique, son équation s'écrira 



(2) lbiXiPi=: O. 



Si A et B sont les premiers membres des équations (r) et (2} auxquelles 



