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 satisfait F, cette forme satisfera également à 



(3) [A,B] = In^.ib,- b,)x,p,= o. 



» Mais la substitution correspondante à (i) aura pu être choisie de 



telle sorte que 



[A,B]-XB, 



X étant une constante qui ne peut être nulle, sans quoi les substitutions 

 seraient permutables. Cette constante doit être égale à une ou plusieurs 

 des différences è, — è*. Tous les termes de (3) qui contiendront un facteur 

 hi— /^/(différent de X devront être identiquement nuls, ainsi que les termes 

 correspondants de (i). 



» Soit F' une forme de /i — i variables reproductible par deux substi- 

 tutions S et S'; tout polynôme entier en F' et en x„ sera une forme de 

 Ti variables reproductible par S et S' (ces deux substitutions étant regar- 

 dées comme n'altérant pas x„). 



» Si l'on suppose que la forme F ne dérive pas de la sorte d'une forme 

 reproductible F' de « — i variables, il faut que, si l'on écrit le tableau des 

 différences i, — b,, qui sont égales à X, chacune des lettres b^, b^, . . h„ 

 se trouve au moins une fois dans ce tableau. 



» Supposons, par exemple, 



(4) è, — ^2= è, - ^3 = . . .= b,,^, — b„ — X. 

 » L'équation (i) se réduit alors à 



1=' 



» On trouve aisément // — i polynômes entiers P,, l\, . . ., P;j_, qui 

 sont homogènes et respectivement de degré i, a, . .., /j — i et qui satis- 

 font à l'équation (5). De toutes les formes reproductibles par nos deux 

 substitutions, les polynômes F sont les plus simples et toutes les autres 

 n'en sont que des combinaisons. 



» Telle est la façon de traiter le problème quand toutes les équations (4) 

 sont satisfaites. Mais il peut arriver : 



» 1° Ou bien qu'une ou plusieurs des différences b^— bq+, soient diffé- 

 rentes de X, sans que deux des quantités ^j- deviennent égales entre elles, d'où 

 il résulte que toute différence qui n'est pas de la forme b^ — i,+, sera diffé- 



