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ANALYSE MATfiÉMATlQUK. — Sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés. 

 Note de M. Stieltjes. (Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite.) 



« Pennettoz-raoi de vous commnniqner un résultat que je crois nouveau, 

 sur la décomposition d'un nombre N^s 5, mod. 8, en cinq carrés impairs 

 et positifs. En désignant par (f{m) la somme des diviseurs de m, le nombre 

 de ces décompositions est 



— 3-\ /N — 5^> 





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déposé sur le bureau de l'Académie le jour même où j'ai fait ma lecture, ainsi qu'il res- 

 sort du passage suivant. Après avoir établi, dans ce Mémoire, l'inégalité (i), j'ajoute : 



<i 11 est à remarquer toutefois que, d'après la marche suivie, il n'y a aucune raison pour 

 que le chiffre de | soit la limite inférieure la plus petite possible. En d'autres ternies, il est 



Et 4 



établi, par ce qui précède, qu'il suffit d'avoir — — ^ - pour être assuré de l'impossibilité 



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 d'une flexion ; mais il se peut et il est même certain que des valeurs plus faibles de 



pourraient être admises sans danger. 



» Il est intéressant, tout au moins, de rechercher jusqu'où pourraient aller ces valeurs. 



Or, si, dans les équations (i6), on fait « = o, les quadratures s'effectuent facilement, et Ton 



.. ^-^ I • El I 3 ^ , . . 



trouve U = = ? soit pour /i = 2, , = - = -. Donc, pour une valeur inu- 



pR' n- — I />ft- 3 g 



El 



niment petite de u, on voit que — — pourra s'approcher autant qu'on le voudra de f. Or, 



supposer u infiniment peiit, c'est supposer une déformation très faible de l'anneau circu- 

 laire. Ainsi, pour une déformation suffisamment petite, — - pourra s'approcher autant 

 qu'on le voudra de '^, el, par suite, pour qu'une déformation infiniment pelite ne puisse 



F r 



pas se produire, — — devra être supérieur à |. D'où je conclus que la limite de * que 



nous avons trouvée ne peut pas différer de la limite la plus faible possible de plus de |, Au 



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 point de vue pratique, il n'y a pas d'inconvénient à prendre ; un peu trop fort; au point 



de vue théorique, il est présumable que la limite la plus faible possible est effectivement 

 celle qui répond à la déformation infiniment petite, c'est-à-dire | =: J, parce que, si l'on a 

 donné à un anneau une forme telle qu'il ne puisse pas se déformer infiniment peu, il est 

 extrêmement probable qu'a fortiori il ne pourra pas prendre une déformation finie. Toute- 

 fois, si cette présomption est exacte, elle doit pouvoir se déduire rigoureusement des équa- 

 tions qui définissent V et u (équations de la page G96 des Comptes rendus; je saisis celte 

 occasion de dire que dans ces équations le radical des dénominateurs doit couvrir tout le 

 polynôme en y), et c'est ce à quoi je n'ai pas réussi^La question mériterait donc, au point 

 de vue purement analytique, d'être complétée en ce sens. » 



