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 » C'est une conséquence facile rlu théorème de Jacobi concernant la dé- 

 composition en quatre carrés impairs et positifs d'un nombre ^4» mod. 8; 

 théorème qu'on peut maintenant considérer comme élémentaire. Or je 

 trouve que ce même nombre des représentations de N ^ 5, mod. 8, par 

 cinq carrés peut s'exprimer aussi parcelle nouvelle formule 



/(N) + 2/(N - 8.1^)4- 2y\N-8.2^) + 2y(N-8.3^)+.... 



M L;i fonction /(///) est définie de la manière suivante: 



rf représentant successivement tous les diviseurs de m ^5, mod. 8. 



» C'est, comme vous le voyez, un théorème analogue àcehii qui a lieu 

 pour la décomposition d'un nombre 8 Â: + 3 en trois carrés impairs; mais je 

 ne fais si ce théorème peut aussi se tirer de la théorie des fonctions ellip- 

 tiques ('). » 



(') Voici, pour la décomposition en cinq carrés impairs et positifs, une proposilion cpie 

 donnent les formules de la théorie des fonctions elliptiques. Soit n un entier ^ i, mod. 4; 

 posons, de toutes les manières possibles, n = dd' sous la condition c/' ^ 3f/ : je considérei'ai 



la fonction 



yM] = ^[Zd + cï], 



qui peut être définie par ce développement 



/.(5)'7 + /.(9/7'+---+ 7.(4'" + •)'/"+• •• 



7 47" 77-' (3'n — al7"'(3"'-2) 



= 1 2_£ 1 LS 1-. . .-I- -5^ '-i- 1-. . . 



I — 7 I — (-/' 1 — 7^ I — 7"'" ' 



q Ij^ 7^1 fy'"(:l"'-2) 



Cela étant, le nombre des décompositions d'un entier N ^ 5, mod. 8, s'obtient par la 

 formule 



iz(N)+/.(N-2^)+7.(N-4^) + x{N-6^)+.... 



Supposons, par exemple, N = 45, ce qui donne 



■2X(45)=Ç). z(4') = ". X(29)=8, 7_(9) = 3; 



nous aurons 3i pour le nombre cherché, et c'est bien en effet ce (jii'on trouve par le 

 développement 



( V'/ + ('7'+ {/'?'' + • • ■)^ = '/'(i + 5</2h- io7'-I- 157*+ -257"-!- 317'» + . . .). 



(C. H.) 



