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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Prohahiltlé poiir qu'une penniilation donnée de 

 n Itttres soit une permulalinn alleniéc. Note de M. Désiré André, présentée 

 par M. Hermite. 



« D'après la définition que j'ai donnée ( ' ), une permutation des n lettres 

 rt,, n.,, «3, . . . , /7„ est une permutation aliernée, lorsque les n — i diffé- 

 rences qu'on obtient, en y retranchant chaque indice du suivant, sont 

 alternativement positives et négatives. 



» Le nombre des permutations alternées de n lettres est toujours un 

 nombre pair; j'en ai représenté la moitié par A„; et il s'ensuit, si l'on dé- 

 signe par P„ le nombre total des permutations de n lettres, que la proba- 

 bilité cherchée z„ est donnée par l'égalité 



'" p 



» Or, comme je l'ai établi, A„ est juste le coefficient de — dans le déve- 

 loppement soit de sécx, soit de tango?. Par conséquent, la probabilité z„ 

 est juste le double du coefficient de x" dans l'un ou l'autre de ces deux 

 développements : dans le développement de sécx, si «est pair; dans celui 

 de tangx, si n est impair. 



» On connaît ainsi r„, et le problème qu'on s'est proposé est résolu. 

 Mais on peut se demander s'il n'existe pas, lorsque n augmente indéfini- 

 ment, une expression asymptotique simple de cette probabilité z„. 



» Pour parvenir à une pareille expression, je considère les deux égalités 

 connues 



» Les premiers membres de ces égalités, lorsque t croît indéfiniment, 

 ont l'un et l'antre pour limite l'unité. Leurs seconds membres, quel que 



soit t, sont tous les deux de la forme z„ -7 f - J -Si donc on fait croître n 

 indéfiniment, ce produit s„ ^ ( - J a pour limite l'unité. 



(* ) Comptes rendus, séance du 12 mai 1879. 



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