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 M Mais ce produit z„ j [-] n'est autre chose que le rapport de la pro- 



(aX""*"' 

 - 1 • Donc cette probabilité et celle quantité 



sont deux infiniment petits dont le rapport tend vers l'unité, c'est-à-dire 

 lieux infiniment petits de même ordre, qui ne diffèrent entre eux que d'un 

 infiniment petit d'ordre supérieur. Donc, lorsque 7t croît indéfiniment, 



4 (- ) est une expression asymplotique de la probabilité :■„. 



» On voit combien celte expression asymplotique est simple; on peut 

 remarquer que la probabilité i„ s'en approche en oscillant, plus petite 

 qu'elle lorsque n est pair, plus grande lorsque ?? est impair; on peut re- 

 marquer aussi que l'expression asymplotique obtenue est un nombre es- 

 sentiellement irrationnel, tandis que, par sa nature même, le nombre :■„ 

 est toujours rationnel. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur tintégration alcjébrique des équations linéaires. 

 Note de M. H. Poincaké, présentée par M. Hermile. 



« M. Jordan, dans le Journal de Crelle (Bd. 84) et dans les Mémoires de 

 l' Académie de Naples, a montré comment on peut former les groupes d'ordre 

 fini contenus dans le groupe linéaire. 11 resterait à faire voir qu'à l'aide de 

 tout groupe fini on peut former une équation linéaire à coefficients ration- 

 nels et à intégrales algébriques. J'ai cherché à démontrer ce théorème 

 dans une Note que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie au mois 

 d'avril i88i ; mais cette Note contient une faute de calcul qui en rend les 

 résultats erronés; je prie donc l'Académie de vouloir bien la tenir pour 

 non avenue jusqu'à ce que j'aie rectifié l'erreur qui y est contenue. Depuis, 

 j'ai réussi à prouver qu'à tout groupe fini T on peut faire correspondre 

 d'une infinité de manières un groupe fuchsien G auquel T est raériédri- 

 quement isomorphe, qu'à ces deux groupes correspond toujours une 

 équation linéaire à intégrales algébriques et que, si l'on pose .r = /(:;), 

 J{z) étant une fonction fuchsienne engendrée par le groupe G, les inté- 

 grales de cette équation sont des fonctions fuchsiennes engendrées par un 

 sous-groupe g de G. Ainsi à un groupe d'ordre fini correspond non pas une, 

 mais une infinité d' équations à intégrales algébriques dont on peut même clioisi) 

 arbitrairement les points singuliers. 



» Les fonctions fuchsiennes engendrées par g sont des fonctions ration- 



