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 iielles de a; et de y, x et jr étant liés par la relation algébrique 



dont le degré en j est m et dont le genre est /;. Si y est le groupe de cette 

 équation algébrique, il est une seule fois transitif. Quant au genre p, il satis- 

 fait à la relation 



(2) 2/j — 2 — m (n 



I I 



«0 



*1 



n et les a étant des entiers [lus grands que i ; ce qui montre que tous les 

 sons-groupes g de genre/? rentrent dans im nombre fini de types. 



» Il y a aussi un théorème concernant les intégrales abéliennes de pre- 

 mière espèce, engendrées par la relation (i), et qui tient à ce que le groupe 

 de cette relation est une seule fois transitif. 



» On peut choisir un système fondamental de p intégrales de première espèce, 

 de telle façon que leurs périodes normales soient des combinaisons linéaires à 

 coefficitnts entiers des périodes normales de l'une d'entre elles. 



n Cela po^é, voici la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe 

 une fonction F[x,j), rationnelle en x et en j et satisfaisant à une équation 

 linéaire d'ordre k. Il faut qu'on puisse trouver m quantités 



Clf, (1-2^ ■ ■ . , il,,, 



telles que, si l'on permute ces m lettres d'après les /«substitutions du groupe 

 7 et qu'on forme avec ces m permutations un déterminant A, tous les mi- 

 neurs d'ordre m — k -- i soient nuls à la fois. 



» J'ai fait voir que, si cela a lieu, ces quantités rt,, rtj • • m '^m sont cer- 

 taines périodes de certaines intégrales de première espèce convenablement 

 choisies. Ainsi la condition pour qu'il y ait une fonction Y[x,j) qui satis- 

 fasse à une équation d'ordre k., c'est qu'il y ait certaines relalions entre les 

 périodes de ces intégrales depremère espèce. Cette condition est toujours 

 remplie pour k^p, car il suffit d'a|)pliquer une remarque de M. Klein pour 

 voir que la dérivée d'une intégrale de première espèce formée à l'aide 

 de la relation (i) satisfait toujours à une équation linéaire d'ordre pu coel- 

 ficients raîionnels. Dans une prochaine Communication, j'indiquerai, si 

 l'Académie veut bien le permettre, quels rapports ont ces relations entre 

 les périodes avec la réduction des intégrales abéliennes qui a fait l'objet 

 des remarquables travaux de M. Picard. » 



