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GÉOMÉTRIE. — Sur une famille de surfaces itéveloiipables passant 

 par une courbe gauche donnée. Note de M. Lucien Lévy. 



« Les surfaces développables que nous nous proposons d'étudier sont 

 définies de la manière suivante : Leurs généraliices coupent une courbe cjaurlœ 

 donnée suivant un angle qui ne dépend que des coordonnées du point d'intersec- 

 tion. Nous considérerons en particulier le cas où ces génératrices pro- 

 viennent de la réfraction d'un faisceau de rayons lumineux parallèles sur 

 la courbe considérée comme une surface canal infiniment déliée. Ce der- 

 nier problème a déjà été étudié par M. Ossian Bonnet, et nous apprenons 

 que cet illustre géomètre a réussi depuis longtemps à le ramener à des 

 quadratures, mais que sa solution n'a jamais été publiée. Nous indiquerons 

 enfin un autre cas où le problème se ramène immédiatement à une seule 

 quadrature. 



» Soient 

 s ra?c d'une courbe gauche donnée, que nous prendrons pour variable 



indépendante; 

 •^o»^o) ^0 ^^^ coordonnées d'un point M de la courbe; 

 a, h, c les cosinus des angles que fait la tangente MT avec trois axes de 



coordoiHiées rectangulaires; 

 a' , b', c' les cosinus qui déterminent la normale principale; 

 a", b", c" ceux qiù déterminent l'axe du plan osculateur. 



» L'équation d'un plan quelconque mené par la tangente MT pourra 



s'écrire 



a'\oc - Xa) + b"{y—jo) + c"[z — z„) 



-l[a'[x-x,)^h'{y-j;) + c\z- r„)j = o, 



/ étant la tangente trigonométrique de l'angle fait par ce plan avec le |)liui 

 osculateur de la courbe. Si / est une fonction de s, le plan dont nous venons 

 d'écrire l'équation enveloppera une surface; il faut donc simplement ex- 

 primer que la caractéristique de ce plan fait avec la courbe un angle qui 

 est fonction des coordonnées du point M. Je trouve ainsi l'équation 



dl I -f- l^ 



(0 i-^-i^V'-^'-^- 



Dans cette équation, R représente la courbure et T la torsion de la courbe 

 donnée; \). est une fonction donnée de l'arc s. La signification géométrique 

 de cette fonction p. est aisée à trouver; p est la colangente de l'angle que 



