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 fait avec I\1T la génératrice de la surface développable. L'équation (i) nf. 

 contient ainsi que des éléments géométriques. 



» Prenons comme nouvelle variable t = tang^; l'équation (i) se Irans- 

 f"orn)e dans la suivante : 



qui est une équation de Riccati. Nous pouvons donc énoncer ce tliéorème : 



» Si l'on considère quatre surfaces développables passant par une courbe 

 gauche donnée et telles que les quntie générnltices isiues d un même point M 

 Jassenl le même angle avec la courbe, les tangentes trigonomclriqiies des demi- 

 angles faits par les quatre plans tangeuts à ces surfaces avec le plan oscuinteur de 

 la courbe oui un rapport anharmonique constant lorsque le point M parcourt la 

 courbe donnée. 



» De ce théorème, on déduit aisémeiil cet autre théorème démontré par 

 M. Picard dans sa Thèse : 



" Sur toute surface enveloppe de sphères, quatre liijnes de courbure non cir- 

 culaires, prises à volonté, déterminent sur les lignes de courbure circulaires quatre 

 points dont le rapport anharmonique est constant. 



)) Dans le cas des courbes planes, l'équation (2) s'inlègre imniédiite- 

 ment; on trouve 



t — tane^ := Ce-' " . 



'^ 2 



» Essayons maintenant de particulariser la fonction p., de manière à 

 pouvoir ramener la solution à ne dépendre que de quadratures. Supposons 

 d'abord que l'on fasse tomber sur la courbe un faisceau de rayons lumi- 

 neux parallèles dont nous supposerons, pour simplifier les calculs, la 

 direction parallèle à l'axe des Z, qui est d'ailleurs quelconque. Soient MI 

 un de ces rayons qui rencontre la courbe en iVI ; MIN une normale quel- 

 conque. Dans le plan IMN, nous considérerons un rayon re/zac/e MR tel que 



sinlMN = «siuRMN. 



» Un calcul simple permet de remplacer cette relation par la suivante : 



cosR!V]T = - ^coslMT, 



et l'on voit que l'angle RMT est une fonction connue des coordonnées du 

 point M. On pourra donc traiter ce problème par la méthode générale que 

 nous avons employée, et l'on sera conduit à l'équation (2). Cela posé, 

 remarquons que les rayons réfractés MR seront normaux à une même sur- 



