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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur (es courbes de genre un. 

 Note de M. Husibert, présentée par M. C. Jordan. 



« T. 1° Toute fonction d'une variable^, liolomorphe dans tout le plan 

 et satisfaisant aux relations 



■^ / y \ /' ^ \ / j\ j 5 \entier positif / 



est fonction linéaire et homogène de n fonctions, P|(<), i^->{t), ■■■, P«(0- 

 telles que 



Elle a, dans le parallélogramme (oj, ««'), ?i zéros de somme constante, à 

 des multiples près de oj et nw'; 



» 2° Toute fonction y^(/) s'annulaiit dans ce parallélogramme pour A' va- 

 leurs de < est fonction linéaire et homogène de (« — A) foiictionsy, (<), .. ., 

 fn-h{t), ayant ces k zéros; 



» 3° Trois fonctions de la forme P^(<), Pa(^)j pour lesquelles la somme 

 j 4- h est la même, sont liées par une relation linéaire et homogène ; ces 

 relations se déduisent linéairement de ^n[n — 3) d'entre elles. 



» II. On sait que les coordonnées des points d'une courbe de genre un 

 et de degré n s'expriment par des fonctions doublement périodiques et 

 d'ordre n d'un paramètre : on en déduit que, en coordonnées homogènes, 

 on aura pour une telle courbe la représentation suivante : 



(3) a:,.= A,P,(0 + B,P,(^)+.. +r.,P„(0; i=f,2,3. 



Les A, sont des constantes. On retrouve le même point en augmentant t 

 de w ou de n^' . 



» Inversement, la courbe S représentée par les équations (3) n'est pas 

 de degré supérieur à n, car les arguments de ses points d'intersection avec 

 tme droite 2a,jr, =: o vérifient l'équation la^JCiit) = o, qui n'a que 

 «zérosdans le parallélogramme to, «o/(i°). Mais le degré peut être moindre 

 que n, car à plusieurs de ces zéros peut correspondre un seul point de S, 

 ce qui arrive par exemple si les x^ sont fonctions paires de t. 



n On peut, en partant des équations (3), former l'équation de la courbe 

 qu'elles représentent et fixer son degré et son genre. 



