io37 ) 

 iio'is pourrons écrire 



' ~ ' (i-l-9^)'' (i — «cosx — bcoif)'' 



et, par conséquent, 



wi '^''^ — «^ 3.5...(-2/-i).3.5...(2y-i)(i+9-)î j^ J^ (i-«cos.r--écos/)'' -^" 



» Développons cette dernière intégrale double suivant les puissances 

 positives croissantes de a et b, de telle façon que 



( 8 ) hj =-- -^ 3.5...(2/-,).3.5...(2y-i)(, + 6'-)v 2j ^'^ ' "' ^'' 



Pour cela, remarquons que Ton a 



(i — rt cosx — /fcosr)"' — \ ; . , — ^a''Z>^cos''a'cos''7', 







et portons ce développement dans rinlégrale (7); nous obtenons pour X,y 

 un développement de la forme (8), où 



fn) I,. - — ; ^' '. , — "X, I I ^m-'xs\u-Wcos''x coi,' Y dxdr. 



)) Cette intégrale double (9) est nulle à moins que r eti ne soient pairs. 

 Supposons donc que l'on ait /• = 2/72, .y = 2«; l'intégrale double (9) se ra- 

 mène alors facilement aux intégrales eulériennes et l'on trouve qu'elle a 

 pour valeur 



,r* 3.5...('2/- i).3.5...(2y-i).3.5...(2w — i).3.5. .[in - i) _ 

 2'+.'+'"-^" (1, /H- w) {i,y-i- //) ' 



on en conclut, en s'appuyant sur l'identité 



3 . 5 . . . ( 2 Wi — ) ) r I 



\ .1. . .1111 2'" I . 2 . . . Wi 



7T^ (^, 2m + 2/0.3.5. ■ .(2( — 1). 3.5.. ■(27 — 



2'+-'+^"'+-"(i, (• H- m) [i,j -+- n) [1, m) (i, n) 



ce qui donne enfui, pour le développement de X, ^ d'après la formule (8) 

 où l'on remet à la place de a et Z» leurs valeurs (6), 



ju'-jJ (/(■./+ y ) 9'+^' y ( 7 , 2 »< -h 2 « ) 6;;^ 



(10) Kj- (,,0(',y)(' + o'^)''Z(' + '-'")(/ + '■'') ('-^s' 



jii2"%«n 



2i2,H+2« (i, m] {1,11) 



