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 la sommarion étant élendue aux valeurs entières rie m et 7? de zéro à l'in- 

 fini. La série du second membre de (lo) se ramène facilement à la fonction 

 hypergéométrique de deux variables Fj(a, (3, 7, '/, j:",^) ('), mais nous 

 laissons de côté cette réduction pour arriver à l'objet principal de cette 

 Noie, à savoir la détermination du coefficient B^'■J dans le développeiiient 

 du polynôme P"*'(z, /j) sous la forme 



V^^\z,p) = 4^ nf;;.'cos/a;cos/7. 



» D'après l'identité (2), ce coefficient est le coelticient de 0^ dans le 

 développement de >., y suivant les puissances positives croissantes de 5. Pour 

 former ce dernier développement, remarquons que l'on a 



)2"' + 2«+'/ ^\ I (l,p) ' 



en portant ce développement dans l'expression (10) de X,,^, on obtient une 

 série dans laquelle le coefficient de 6" a poin- valeur 



^"^ '''■J- (.,/)(.,>) Z^ ' (.-+-.,«;)(/ + . ,«){,,f>) i, ,,«)(!,«)' 



la somme 2' étant étendue aux valeurs entières positives ou nulles des 

 nombres m, «, p satisfaisant à la condition 



(12) / + / + 2 /H + 2 /i + 2 p = "N 



ou, en posant N — / — y = 2N', 



(12') in-hn -h p ='N'. 



» L'expression (i 1) du coefficient B^Jpeut être simplifiée si l'on élimine 

 p à l'aide de la relation (12'); on a, en effet, 



(f/, 2111 -h 2n){f/ -h 2/ti -h 211, p) = [q^ "xin -H -211 A- p) 



= (^, m + n + N') = [q, N') (</ -^ N', m + n) ; 

 _'__ (p + ')(? + 2) . . .(p -t- /« + ") _ ^ , UH^« (- !>""' '" + ") 



(l,p) 1. 2... (p 4- »»-!-«) ^ I (i,K') 



(A-, / -r-y (V, N') = (A', N'4- /-+-/), (- 0^= (- ')"'"""''; 



Joiiniiil (le iMallièiiiHtiqitts i\e iM. Resal, 3" .série, l. Vill, |i. i'4- 



